Система неравенств с параметром

[DollarSRS]

Доброго времени суток! Не так давно наткнулся на одну любопытную систему. Задание следующее:
При каком (указать значение) значении параметра а данная система неравенств
$$ \left\{ \begin{aligned} 1+\frac 4 {x+a} \le 0\\ \mid 2x-2a+1 \mid \ge 5\\ \end{aligned} \right. $
имеет единственное решение?
Я ещё не разобрался в тегах, так что опишу свой подход на словах, попробую по крайне мере. При рассмотрении первого неравенства очевидно, что знаменатель дроби должен быть меньше 0 ($x+a<0$). Из второго неравенства следует, что разность переменной и параметра не равна нулю ($x-a\neq 0$), а значит параметр не равен переменной ($x \neq a$). Далее я ввел новую переменную t (пусть $x-a=t$) и нашёл область допустимых значений для новой переменной (фактически - для разности переменной и параметра):
$\mid 2t+1 \mid \ge 5 \Rightarrow t \ge 2; t \le -3$.
Соответственно ОДЗ для $t=a-x$ будет: $(-\infty;-3] \cup [2; \infty)$.
Подскажите, верен ли путь решения? Если да, то что делать дальше. Если нет, то как решить данную систему?

[Otta]

Графически должно хорошо получаться. Пробовали? На плоскости с координатами $(a,x)$.

[DollarSRS]

Нет, не пробовал. Я пытался аналитически решить задание. У меня есть ответ $a=-0.5$, только я пока не могу сообразить, как к этому ответу прийти ))

[Otta]

Ну так попробуйте.
Ответ верный.

[ewert]

DollarSRS в сообщении #906998 писал(а):

При рассмотрении первого неравенства очевидно, что знаменатель дроби должен быть меньше 0 ($x+a<0$).

Это совершенно никчёмное изобретательство, здесь надо тупо по шаблону. Очевидно, что решением первого неравенства является некий полуоткрытый промежуток, решением же второго -- два бесконечных замкнутых промежутка. После чего очевидно, что для единственности решения нужно, чтобы один из концов промежутка для второго неравенства совпал с одним из концов для первого (угадайте, какой с каким).