факторизация градуированной алгебры

[minghing]

Рассмотрим градуированную группой $G$ алгебру $A=\bigoplus\limits_{d \in G} A_d$ и однородный идеал $I \subset A$. Тогда фактор-алгебра $B:=A/I$ так же градуированна $G$ : $B=\bigoplus\limits_{d \in G} B_d$, где $B_d:=A_d+I$.

Предположим теперь, что мы не знаем исходной алгебры $A$, но знаем алгебру $B$ и $G$-однородные полождающие $f_1, \dots, f_s$ идеала $I$ в $A$. Можно ли по этой информации восттановить алгебру $A$ в предположении, что она конечно порождена?

Если кто-либо даст ссылку на книгу или статью (можно и на англ), где данный вопрос рассматривается, буду очень признателен.

[patzer2097]

а как мы можем узнать $B$, не зная $A$? Или Вы имеете в виду с точностью до изоморфизма?

minghing в сообщении #906237 писал(а):

знаем <...> $G$-однородные полождающие $f_1, \dots, f_s$ идеала $I$ в $A$

если мы знаем, откуда эти порождающие, то мы знаем и что такое $A$. Здесь действительно непонятно, что Вы имеете в виду.

[minghing]

patzer2097 в сообщении #906471 писал(а):

а как мы можем узнать $B$, не зная $A$? Или Вы имеете в виду с точностью до изоморфизма?

minghing в сообщении #906237 писал(а):

знаем <...> $G$-однородные полождающие $f_1, \dots, f_s$ идеала $I$ в $A$

если мы знаем, откуда эти порождающие, то мы знаем и что такое $A$. Здесь действительно непонятно, что Вы имеете в виду.

Наверное я действительно написал не очень подробно

$B$ мы знаем с самого начала, эта алгебра нам задана как фактор алгебры полиномов от определенного, например $n$, количества переменных по идеалу отношений между ними. Так же мы знаем и идеал $I$, как объект, порожденный набором полиномов из $A$ (в эти полиномы, очевидно, входят и какие-то другие переменные-порождающие, помимо тех, что есть в $B$).

Нам хотелось бы по этой информации получать алгебру $A$ (как фактор алгебры полиномов от какого-то числа переменных по идеалу соотношений), удовлетворяющую равенству $A/I=B$. А так же знать единственна ли она с точностью до изоморфизма.

Простейший пример. $B=k[x_1,\dots,x_n]$, $I=(x_{n+1})$. И из "уравнения" $A/I=B$ должно следовать, что $A=k[x_0, x_1,\dots,x_{n+1}]$.

Если породить свободно алгебру $A$ алгеброй $B$ и идеалом $I$, что повлечет собой добавление новых переменных в $B$ при прежнем идеале соотношений, то получится то, что нам нужно. Но единственным ли будет результат.

Это какой-то очень стандартный факт из алгебры, но сходу найти его в книгах у меня не выходит.

[patzer2097]

minghing в сообщении #906586 писал(а):

Так же мы знаем и идеал $I$, как объект, порожденный набором полиномов из $A$

то есть $A$ все-таки - это алгебра многочленов? так чего же Вы хотите найти? и причем тут были градуировки?

[minghing]

patzer2097 в сообщении #906687 писал(а):

minghing в сообщении #906586 писал(а):

Так же мы знаем и идеал $I$, как объект, порожденный набором полиномов из $A$

то есть $A$ все-таки - это алгебра многочленов? так чего же Вы хотите найти? и причем тут были градуировки?

$A$ любая конечно порожденная алгебра. Любая конечно-порожденная алгебра представима как фактор алгебры многочленов по какому-то идеалу. Например дуальные числа $k[x]/(x^2)$

Ок, называть элементы какой-попало конечно порожденной алгебры полиномами не совсем верно.