Производная по направлению.

[main.c]

Найти прозводную функции $z = f(x, y)$ в точке $A_0(x_0, y_0)$ по направлению касательной к кривой $\varphi(x, y) = C$ в точке $(x_1, y_1)$.

Здесь мне непонятно только как найти направляющий вектор касательной.

[ewert]

main.c в сообщении #905431 писал(а):

Здесь мне непонятно только как найти направляющий вектор касательной.

Это не может быть непонятным: это может быть либо известным, либо нет. Если неизвестно, то надо искать в учебниках либо справочниках -- факт совершенно стандартный. Если же лень рыться, то хотя бы вспомните, как описывается вектор нормали к линии (или поверхности) уровня, уж это-то должно быть известно. Кстати, формулировка задачки некорректна в том смысле, что ответ неоднозначен.

[popolznev]

Задача поставлена так, что получится два ответа с разным знаком. Потому что волнующий вас направляющий вектор касательной определен неоднозначно, с точностью до знака. Ну, то есть, если единичной длины вектор имеется в виду.

[main.c]

Если я не ошибаюсь, то:
$y'_x = -\dfrac{\varphi'_x}{\varphi'_y}$
Тогда $y = y_1 - \dfrac{\varphi'_x(x_1, y_1)}{\varphi'_y(x_1, y_1)}(x-x_1)$ - уравнение касательной.

[ewert]

main.c в сообщении #905441 писал(а):

Если я не ошибаюсь, то:
$y'_x = -\dfrac{\varphi'_x}{\varphi'_y}$

Ну можно и так (хотя и нежелательно -- хотя бы из-за возможного деления на ноль). А вот уравнение касательной Вам вовсе не нужно.

[main.c]

ewert в сообщении #905444 писал(а):

main.c в сообщении #905441 писал(а):

Если я не ошибаюсь, то:
$y'_x = -\dfrac{\varphi'_x}{\varphi'_y}$

Ну можно и так. А вот уравнение касательной Вам вовсе не нужно.

Из него видно, что $\{-\dfrac{\varphi'_y}{\varphi'_x}; 1\}$ - один из направляющих векторов.

[ewert]

main.c в сообщении #905446 писал(а):

Из него видно, что $\{-\dfrac{\varphi'_y}{\varphi'_x}; 1\}$ - один из направляющих векторов.

Ну можно и так, если Вам так удобнее; хотя вообще-то скорее наоборот.

[main.c]

ewert в сообщении #905444 писал(а):

хотя и нежелательно -- хотя бы из-за возможного деления на ноль

Ну я думаю, что всё же имелось ввиду, что касательная не параллельна $Ox$, иначе производная по направлению - это просто частная производная по $x$.

[ewert]

Я не знаю, что имелось в виду; но если задание сформулировано буквально так, то ни $\varphi'_x=0$, ни $\varphi'_y=0$ исключать никак нельзя. Исключается лишь случай, когда они обнуляются одновременно.

[main.c]

Наткнулся на почти аналогичное задание, вот только мне не совсем понятно условие. Найти производную функции $z = \ln(x^2 + y^2)$ в точке M к кривой $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ по направлению внутренней нормали этой кривой.

Что значит производная функции к кривой?

[ewert]

main.c в сообщении #905466 писал(а):

Что значит производная функции к кривой?

Очипятка -- по рассеянности вставлен лишний предлог.

[Skeptic]

main.c в сообщении #905431 писал(а):

Найти производную функции $z = f(x, y)$ в точке $A_0(x_0, y_0)$ по направлению касательной к кривой $\varphi(x, y) = C$ в точке $(x_1, y_1)$.

Здесь мне непонятно только как найти направляющий вектор касательной.

Производная функции $z = f(x, y)$ в точке $A_0(x_0, y_0)$ образует поверхность. Касательная к кривой $\varphi(x, y) = C$ в точке $(x_1, y_1)$ в трёхмерном пространстве - плоскость. Искомый вектор будет направлен из точки $A_0(x_0, y_0)$ на линию пересечения поверхностей.

[ewert]

Skeptic в сообщении #905486 писал(а):

Производная функции $z = f(x, y)$ в точке $A_0(x_0, y_0)$ образует поверхность.

Производная не в силах образовать поверхность.

Skeptic в сообщении #905486 писал(а):

Касательная к кривой $\varphi(x, y) = C$ в точке $(x_1, y_1)$ в трёхмерном пространстве - плоскость.

Касательная к кривой не есть плоскость даже в десятимерном пространстве.

Skeptic в сообщении #905486 писал(а):

Один конец вектора будет в точке $A_0(x_0, y_0)$, второй конец в точке на линии пересечения поверхностей.

На линии пусть даже и непонятно чего -- точек много.

И вообще всё очень интересно.

[Skeptic]

Решение поставленной задачи зависит от конкретного значения термина направление.

Например. Как может двигаться точка из центра окружности в направлении линии окружности?
В двумерном пространстве: по радиусу, по спирали и, вообще, по любой кривой, приближающей точку к линии окружности.
В трёхмерном пространстве точка из центра окружности при движении может выходить из плоскости окружности.

В задаче даны: точка $B_0(x_0, y_0,z'(x_0, y_0))$$ и прямая - касательная к кривой $\varphi(x, y) = C$ в точке $(x_1, y_1)$.
Если отбирать только направления в плоскости точка-касательная, то решение сведётся к построению плоскости, и определении её параметров.
Если взять все пространственные направления, то надо построить соответствующую объёмную фигуру.

[Munin]

Skeptic в сообщении #905872 писал(а):

Решение поставленной задачи зависит от конкретного значения термина направление.

В термине "производная по направлению" используется только одно значение, которое вам следует знать.