Базис! Помогите!

[holop1]

Люди добрые, помогите!
Дана система векторов а1, а2, а3, а4, а5, а6, в которой а3=(0,1,1,2), а4=(1,1,1,3), а5=(1,0,-2,-1), а6=(1,0,1,2). Дополнить линейно независимую часть а1=(2,8,-1,9), а2=(3,10,-6,7) до базиса системы векторов а1, а2, а3, а4, а5, и все векторы, не вошедшие в базис разложить по базису.
Решать не обязательно, объясните принцип просто

[Henrylee]

Если записать лин.независимые вектора в виде квадратной матрицы (либо по строчкам либо столбцами), то определитель должен быть $\not=0$. Если он $=0$, то записанные векторы лин.зависимы и не составляют базис.

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

Чтобы сразу выделить нужные вектора можно записать в ивде матрицы (неквадратной) все векторы и посчитать ранг матрицы, заодно фиксируя при преобразованиях какие векторы не войдут в лин.независимую систему.

[holop1]

Спасибо! Щас попробую!

Добавлено спустя 28 минут 11 секунд:

Вот что вышло!
1)когда считал ранг неквадратной матрицы, оба независимых вектора выбыли
2)когда поочереди перебирал вектора (к 2 независимым добавлял 2 из трех оставшихся), все определители оказались равны нулю
Вывод: либо дополнить не удастся, либо я не понял что делать

[Brukvalub]

holop1 писал(а):

2)когда поочереди перебирал вектора (к 2 независимым добавлял 2 из трех оставшихся), все определители оказались равны нулю

Это означает, что добавить можно не более 1 вектора. Вот и попробуйте это сделать. При этом перебором заниматься не обязательно - запишите все векторы по строкам матрицы, начиная с а1=(2,8,-1,9), а2=(3,10,-6,7) и приведите матрицу к ступенчатому виду - все станет ясно.

[holop1]

Привел! Получилось, что два вектора, так сказать, обнулились.
Но при этом из этих трех я мог обнулить любой, потому что под конец их строки стали одинаковыми. То есть выбор тут должен быть обоснован или нет разницы?

[Brukvalub]

Разницы нет - выбирайте любой - получится базис в линейной оболочке заданных векторов.

[holop1]

И последний вопрос! ))
Эта ступенчатая матрица будет достаточным доказательством что выбранные три вектора образуют базис? или надо еще что то?

[Brukvalub]

holop1 писал(а):

Эта ступенчатая матрица будет достаточным доказательством что выбранные три вектора образуют базис? или надо еще что то?

Ненулевые строки ступенчатой матрицы всегда линейно независимы - попробуйте доказать это методом "от противного" - это совсем просто..

[holop1]

Ну спасибо большое, друг!
Выручил!