naanov Тривиальное тождество в доказательстве ВТФ

[naanov]

Уважаемая shwedka!

shwedka в сообщении #904311 писал(а):

naanov в сообщении #904175 писал(а):

naanov в сообщении #903563 писал(а):

Здесь полагается, что равносильными являются:
уравнения
$x^j+y^j=z^j$, (1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$; (2)
а также уравнение (2) и система (обозначенная в процитированном выше пункте 7, как (9) и (10))
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)

И здесь 'полагается' - неправильная лексика. Нужно писать доказано.
Но у ВАс не доказано. Если доказательство где-то было, процитируйте.
Когда докажете, разговор продолжится.

О лексике.
Написано, что написано.
О доказательствах.
I. Докажем равносильность системы уравнений (3) и (4) уравнению (2) при условии истинности уравнения (1)
$x^j+y^j=z^j$. (1)
Цитирую то, что изложено здесь:

naanov в сообщении #903207 писал(а):

Уважаемая shwedka!
Спасибо…

и далее переходим к доказательству:

naanov в сообщении #903207 писал(а):

Преобразуем (3) и (4) к виду
$s_1 = x + y - z$, (5)
$s_{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1}$. (6)
Перемножим соответствующие левые и правые части (5) и (6), что выполнимо, поскольку $x+y-z>0$ и $x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1}>0$, и является эквивалентным преобразованием:
$s_1s_{j-1} = (x + y - z)(x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})$.
Выполним умножение в правой части, что является эквивалентным преобразованием:
$(x+y-z)( x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$=x^j+xy^{j-1}-xz^{j-1}+yx^{j-1}+y^j-yz^{j-1}-zx^{j-1}-zy^{j-1}+z^j $.
Выполним перегруппировку слагаемых в правой части, что является эквивалентным преобразованием:
$(x+y-z)( x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$=(x^j + y^j - zy^{j-1}- xz^{j-1} + xy^{j-1}) + (z^j - x^{j-1}z - yz^{j-1}+ yx^{j-1})$.
Выполним эквивалентное замещение $x^j + y^j$ на $z^j$ согласно соотношению $x^j + y^j$ и $z^j$ в уравнении (1) по условию
$x^j+y^j=z^j$:
$(x+y-z)( x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$=(z^j - zy^{j-1}- xz^{j-1} + xy^{j-1}) + (z^j - x^{j-1}z - yz^{j-1}+ yx^{j-1})$.
Выполним перегруппировку слагаемых в правой части, что является эквивалентным преобразованием:
$(x+y-z)( x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$ = (z^j-zy^{j-1})-(xz^{j-1}-xy^{j-1}) + (z^j-x^{j-1}z)-(yz^{j-1}-yx^{j-1})$
Вынесем общие множители за скобки, что выполнимо и не нарушает эквивалентность преобразования, поскольку $1 \leqslant x < y < z$:
$(x+y-z)( x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$= z(z^{j-1}-y^{j-1})-x(z^{j-1}-y^{j-1}) + z(z^{j-1}-x^{j-1})-y(z^{j-1}-x^{j-1})$.
Вынесем общие множители за скобки, что выполнимо и не нарушает эквивалентность преобразования, поскольку из $1 \leqslant x < y < z$ – натуральные следует $1 \leqslant z^{j-1}-y{j-1}< z^{j-1}-x^{j-1}$:
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$.
Полученное уравнение и является уравнением (2), выводимым из уравнений (3) и (4)...

Справедливо и обратное. Цитирую:

naanov в сообщении #903563 писал(а):

Покажем, что уравнение (2) эквивалентно преобразуется в систему (3) и (4).
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2.1)
Обозначим:
$x + y - z = s_1$, где $ s_1>0$ – натуральное, (2.2)
$x^{j-1} + y^{j-1} - z^{j-1} = s_{j-1}$, где $s_{j-1}>0$ – натуральное. (2.3)
Тогда левую часть (2.1) всегда можно представить произведением
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = s_{j-1}s_1$, (2.4)
и систему (2.2) и (2.3) – рассматривать как эквивалентную произведению (2.4) и уравнению (2.1), соответственно, поскольку почленное умножение равенств (2.2) и (2.3) при указанных выше условиях является эквивалентным преобразованием.
Таким образом, (2) и (3)-(4) эквивалентны (равносильны).

II. Докажем равносильность уравнения (1) уравнению (2) при условии истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1.1 обозначено, здесь, вместо 1)
Цитирую то, что изложено здесь:

naanov в сообщении #903563 писал(а):

Уважаемая shwedka! Бесспорно…

и далее переходим к доказательству:

naanov в сообщении #903563 писал(а):

Рассмотрим следующую пару представлений левой и правой частей уравнения (1) и их последующие преобразования:
$x^j+y^j=$
$= x^j+(xy^{j-1}-xy^{j-1})+(xz^{j-1}-xz^{j-1})+y^j+(yx^{j-1}-yx^{j-1})+(yz^{j-1}-yz^{j-1})$, (1.2)
$z^j= z^j + (zy^{j-1}- zy^{j-1}) - z^j + (zx^{j-1}- zx^{j-1}) + z^j$; (1.3)
$x^j+y^j=$
$= (xz^{j-1}- xy^{j-1})+(x^j+xy^{j-1}-xz^{j-1})+(yx^{j-1}+y^j- yz^{j-1})+(yz^{j-1}-yx^{j-1})$, (1.4)
$z^j= (z^j - zy^{j-1}) + (zx^{j-1}+ zy^{j-1} - z^j) + (z^j - zx^{j-1})$; (1.5)
$x^j+y^j=$
$= (z^{j-1}-y^{j-1})x+(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})x+(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})y+(z^{j-1}-x^{j-1})y$, (1.6)
$z^j= (z^{j-1}-y^{j-1})z + (x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})z + (z^{j-1}-x^{j-1})z$; (1.7)
$x^j+y^j=(z^{j-1}-y^{j-1})x + (x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y) + (z^{j-1}- x^{j-1})y$, (1.8)
$z^j= (z^{j-1}-y^{j-1})z + (x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})z + (z^{j-1}- x^{j-1})z$. (1.9)
Вычтем почленно (1.9) из (1.8) и получим
$x^j + y^j - z^j=$
$= (z^{j-1}-y^{j-1})(x-z)+(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y- z) + (z^{j-1}-x^{j-1})(y-z)$. (1.10)
С учетом равенства (1.1) имеем соотношение уравнения (2):
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (1.11)
Поскольку все выполненные преобразования от (1.1) до (1.10) имеют и обратные преобразования, не нарушающие эквивалентности преобразуемых выражений, то преобразовать уравнение (2) (или 1.11) в уравнение (1) (или 1.1) всегда возможно.
Таким образом, уравнения (1) и (2) эквивалентны (равносильны).

Из доказанных положений в цитируемых текстах следует, что уравнения (1) и (2) и система уравнений (3) и (4), все, попарно равносильны (эквивалентны).
Далее цитирую:

shwedka в сообщении #904311 писал(а):

Вы только что признали необходимость слов

naanov в сообщении #904175 писал(а):

В указании на условие правда Ваша.

это условие никуда не делось. Оно сделано в начале рассуждения.
Так что докажите, что при условии

naanov в сообщении #904175 писал(а):

$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)

цитата:

naanov в сообщении #903563 писал(а):

равносильными являются:
уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$; (2)
а также уравнение (2) и система (обозначенная в процитированном выше пункте 7, как (9) и (10))
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)

при $j\not=3$

При условии $3= j \not = 3$ сложно что-либо доказывать…
С уважением

-- 06.09.2014, 22:07 --

Глубокоуважаемый lasta!
О вопросе важности «принципа ящиков» в обсуждаемом доказательстве.
Приведу ещё один пример дополнительно к примеру о частной сумме единиц в числе $ \pi^2$.
Известна теорема о параметризации членов примитивной пифагоровой тройки $(x, y, z)$:
$x=2ab$, (1)
$y=a^2-b^2$, (2)
$z=a^2+b^2$, (3)
где $a>b$ – натуральные числа противоположной четности и $(a, b)=1$. (4)
(Например, Хинчин А.Я. Великая теорема Ферма. – М.-Л.: ОНТИ ГТТИ, 1934. С.10).
Если оказаться от условий (4) для параметров $a$ и $b$, и рассматривать лишь формализм (1), (2) и (3), то и при ненатуральных (например, иррациональных) положительных параметрах $a$ и $b$ этот формализм действует и генерирует тройки, удовлетворяющие уравнению
$x^2+y^2=z^2$.
Примеры показывают, что Ваше предположение о сомнительности основы обсуждаемого доказательства:

lasta в сообщении #903919 писал(а):

Поэтому в своих доводах я подвергал сомнению основу Вашего доказательства о существовании только целочисленной системы,

в связи с тем, что это доказательство (при пренебрежении условием «частных сумм» или «принципа ящиков») допускает расширение на вещественные числа, на мой взгляд, имеет шероховатости: сомнительно.
Вывод: "принцип ящиков" в форме "приёма частных сумм" неотделим от обсуждаемого доказательства, как необходимое условие.
Спасибо
С уважением

[shwedka]

naanov в сообщении #904729 писал(а):

При условии $3= j \not = 3$ сложно что-либо доказывать…

А никто и не говорит про
$3= j $

Повторяю.Вы 'доказываете' ВТФ для степени 3.
Делаете предположение

Цитата:

naanov в сообщении #904175 писал(а):
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)

после этого заявляете, что, кроме того,
числа x,y,z, ТЕ ЖЕ САМЫЕ,
удовлетворяют уравнению

$x^2 + y^2 = z^2$
Это Вы утверждаете.
Я не вижу доказательства.

naanov в сообщении #904729 писал(а):

Докажем равносильность уравнения (1) уравнению (2) при условии истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1.1 обозначено, здесь, вместо 1)

;при j=2,
не годится
поскольку
условие истинности уравнения (1) при j=2
у Вас не выполнено, еще, Вы как раз хотите его доказать.

Поэтому вторично прошу Вас
Так что докажите, что при условии
naanov в сообщении #904175 писал(а):
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)

Цитата:

цитата:
naanov в сообщении #903563 писал(а):
равносильными являются:
уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$; (2)
а также уравнение (2) и система (обозначенная в процитированном выше пункте 7, как (9) и (10))
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)

при $j=2$.

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Вы предложили предъявить Вам доказательства равносильности (эквивалентности):
уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
уравнения
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$; (2)
а также уравнение (2) и системы (обозначенная в процитированном выше пункте 7, как (9) и (10))
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)
Это Ваше предложение было здесь:

shwedka в сообщении #904311 писал(а):

… Если доказательство где-то было, процитируйте. Когда докажете, разговор продолжится.

Доказательства были процитированы. Вот здесь:

naanov в сообщении #904729 писал(а):

О доказательствах.
I. Докажем равносильность системы уравнений (3) и (4) уравнению (2) при условии истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1)

и далее. А также здесь:

naanov в сообщении #904729 писал(а):

II. Докажем равносильность уравнения (1) уравнению (2) при условии истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1.1 обозначено, здесь, вместо 1)

и далее.
Представлены все требуемые доказательства и доказано:
означенные выше уравнения (1) и (2) и система уравнений (3) и (4) равносильны при допустимых значениях аргумента $j>1$, $j$ – натуральное, натуральные $x<y<z$ – постоянные параметры.
Если Вы считаете, что эти доказательства ошибочны, то, пожалуйста, либо укажите на ошибки, либо опровергните их примерами.
Откуда Вы взяли то, что я делал такое вот заявление:

shwedka в сообщении #905067 писал(а):

Вы 'доказываете' ВТФ для степени 3.
Делаете предположение
Цитата:
naanov в сообщении #904175 писал(а):
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
после этого заявляете, что, кроме того,
числа $x, y, z$ ТЕ ЖЕ САМЫЕ,
удовлетворяют уравнению
$x^2 + y^2 = z^2$
Это Вы утверждаете.

???
Я не заявлял и не утверждал, что «числа … удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = z^2$». Это же не уравнение, это – числовое равенство, поскольку $x, y$ и $z$ постоянные параметры. Истинное или ложное, но равенство, а не уравнение.
Вы не видите доказательства равносильности уравнения (1) уравнению (2)?
Как же так? Вы же делаете выписку из этого доказательства:

shwedka в сообщении #905067 писал(а):

Я не вижу доказательства.
naanov в сообщении #904729 писал(а):
Докажем равносильность уравнения (1) уравнению (2) при условии истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1.1 обозначено, здесь, вместо 1)
;при $j = 2$,
не годится
поскольку
условие истинности уравнения (1) при $j = 2$
у Вас не выполнено, еще, Вы как раз хотите его доказать.

Что здесь и для чего не годится?
Равносильность уравнения (1) уравнению (2) доказана при допустимых значениях аргумента $j > 1$. Простите, может быть, мы говорим о разных вещах? Я понимаю под «истинностью уравнения (1)» то, что связано с предложениями:
уравнение $x^j+y^j-z^j=0$ истинно,
уравнение $x^j+y^j+z^j=0$ ложно; –
при условиях ВТФ.
Вы формулируете своё видение так: «условие истинности уравнения (1) при $j = 2$ у Вас не выполнено». Каков смысл этого предложения? Ведь при $j = 2$ уравнение (1) обращается в равенство (истинное или ложное) и перестаёт быть уравнением.
Объясните, пожалуйста, если Вы утверждаете, что «…равносильность уравнения (1) уравнению (2) при условии истинности уравнения (1) $x^j + y^j = z^j$ … ; при $j = 2$, не годится …», что такое происходит с доказательством:

сообщении #904729 писал(а):

naanov в сообщении #903563 писал(а):

Рассмотрим следующую пару представлений левой и правой частей уравнения (1) и их последующие преобразования:
$x^j+y^j=$
$= x^j+(xy^{j-1}-xy^{j-1})+(xz^{j-1}-xz^{j-1})+y^j+(yx^{j-1}-yx^{j-1})+(yz^{j-1}-yz^{j-1})$, (1.2)
$z^j= z^j + (zy^{j-1}- zy^{j-1}) - z^j + (zx^{j-1}- zx^{j-1}) + z^j$; (1.3)
$x^j+y^j=$
$= (xz^{j-1}- xy^{j-1})+(x^j+xy^{j-1}-xz^{j-1})+(yx^{j-1}+y^j- yz^{j-1})+(yz^{j-1}-yx^{j-1})$, (1.4)
$z^j= (z^j - zy^{j-1}) + (zx^{j-1}+ zy^{j-1} - z^j) + (z^j - zx^{j-1})$; (1.5)
$x^j+y^j=$
$= (z^{j-1}-y^{j-1})x+(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})x+(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})y+(z^{j-1}-x^{j-1})y$, (1.6)
$z^j= (z^{j-1}-y^{j-1})z + (x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})z + (z^{j-1}-x^{j-1})z$; (1.7)
$x^j+y^j=(z^{j-1}-y^{j-1})x + (x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y) + (z^{j-1}- x^{j-1})y$, (1.8)
$z^j= (z^{j-1}-y^{j-1})z + (x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})z + (z^{j-1}- x^{j-1})z$. (1.9)
Вычтем почленно (1.9) из (1.8) и получим
$x^j + y^j - z^j=$
$= (z^{j-1}-y^{j-1})(x-z)+(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y- z) + (z^{j-1}-x^{j-1})(y-z)$. (1.10)
С учетом равенства (1.1) имеем соотношение уравнения (2):
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (1.11)
Поскольку все выполненные преобразования от (1.1) до (1.10) имеют и обратные преобразования, не нарушающие эквивалентности преобразуемых выражений, то преобразовать уравнение (2) (или 1.11) в уравнение (1) (или 1.1) всегда возможно.
Таким образом, уравнения (1) и (2) эквивалентны (равносильны).

что могло бы опровергнуть его? По-моему, ничего.
Если равенства $x^2 + y^2 = z^2$ ($x^j + y^j = z^j$ при $j = 2$) или $x^3 + y^3 = z^3$ ($x^j + y^j = z^j$ при $j = 3$) справедливы, то справедливы (в силу равносильности или эквивалентности) соотношения, полученные из уравнения (2) и из системы уравнений (3) и (4) подстановкой $j = 2$ или $j = 3$, соответственно.
В смысле выше сказанного, «вторично» не понимаю, о чём Вы просите:

shwedka в сообщении #905067 писал(а):

Поэтому вторично прошу Вас
Так что докажите, что при условии
naanov в сообщении #904175 писал(а):
$x^3 + y^3 = z^3$, (1.1.2)
Цитата:
цитата:
naanov в сообщении #903563 писал(а):
равносильными являются:
уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$; (2)
а также уравнение (2) и система (обозначенная в процитированном выше пункте 7, как (9) и (10))
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)
при $j = 2$.

???
Несложно видеть, что Вы просите: при условии справедливости $x^3 + y^3 = z^3$, то есть при справедливости $x^j + y^j = z^j$, где $j = 3$, доказать равносильность уравнений (1) и (2) и системы уравнений (3) и (4) при $j = 2$. Но это условие означает, что $3 = j = 2$!
Может быть, Вы полагаете нечто иное, нежели $3 = j = 2$?
Спасибо

[shwedka]

naanov в сообщении #905307 писал(а):

Но это условие означает, что $3 = j = 2$!

нет, этого такое условие не означает.
Если считаете, что означает, докажите свое цитированное утверждение,

-- Пн сен 08, 2014 01:31:08 --

shwedka в сообщении #905348 писал(а):

О доказательствах.
I. Докажем равносильность системы уравнений (3) и (4) уравнению (2) при условии истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1)

Этоутверждение меня не интересует.
Можете ли Вы доказать равносильность системы уравнений (3) и (4) уравнению (2) без наложения условия
истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1)

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Извините, этот пост я подготовил, ещё не зная Вашего последнего сообщения (от 08.09.14 04:24).
Возможно, следующее поможет найти общий язык, если в этом есть потребность.
1.
Доказано утверждение:
При условиях $x<y<z$ – постоянные параметры, натуральные, и $j>1$ – переменное (аргумент), натуральное, уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1.1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$, (1.2)
а также система уравнений
$z=x+y-s_1$, (1.3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$ (1.4)
равносильны.
2.
При $j=3$ утверждение по пункту 1 принимает форму:
Если при $x<y<z$ – постоянных и натуральных, справедливо равенство
$x^3 + y^3 = z^3$, (2.1)
то так же справедливы равносильные равенству (2.1)
равенство
$(x^2 + y^2- z^2)(x + y - z) = (z^2 - y^2)(z - x) + (z^2 - x^2)(z - y)$, (2.2)
и система равенств
$z=x+y-s_1$, (2.3)
$z^2=x^2+y^2-s_2$. (2.4)
Пример:
справедливо равенство
$3^3 + 4^3 = 4,498^3$,
где $4,498…=91^{\frac 1 3}$
и справедливы равносильные этому равенству
равенство
$(3^2 + 4^2- 4,498^2)(3 + 4 - 4,498) =$
$= (4,498^2 - 4^2)(4,498 - 3) + (4,498^2 - 3^2)(4,498 - 4)$,
или $(9 + 16- 20,232)(3 + 4 - 4,498) =$
$= (20,232 - 16)(4,498 - 3) + (20,232 - 9)(4,498 - 4)$,
или $(4,769)(2,502) = (4,232)(1,498) + (11,232)(0,498)$,
или $11,933 = 11,934$ с погрешностью,
и система равенств
$4,498 =3+4-2,502$,
$4,498^2=3^2+4^2-4,769$,
или
$4,498 =4,498$,
$20,232=20,231$ с погрешностью.
3.
При $j=2$ утверждение по пункту 1 принимает форму:
Если при $x<y<z$ – постоянных и натуральных, справедливо равенство
$x^2 + y^2 = z^2$, (3.1)
то так же справедливы равносильные равенству (3.1)
равенство
$(x + y- z)(x + y - z) = (z - y)(z - x) + (z - x)(z - y)$, (3.2)
и система совпадающих равенств
$z=x+y-s_1$, (3.3)
$z=x+y-s_1$. (3.4)
Пример:
справедливо равенство
$3^2 + 4^2 = 5^2$,
и справедливы равносильные этому равенству
равенство
$(3 + 4- 5)(3 + 4 - 5) = (5 - 4)(5 - 3) + (5 - 3)(5 - 4)$,
или $(2)(2) = (1)(2) + (2)(1)$,
или $4 = 4$,
и система совпадающих равенств
$5 =3+4-2$,
$5=3+4-2$,
или
$5 =5$,
$5=5$.
4.
Может быть, Вас интересует вопрос о том, каким образом из допущения о существовании решения
$x^3 + y^3 = z^3$
следует существование решения
$x^2 + y^2 = z^2$,
опровергающее существование первого решения?
И Вы требуете доказать, именно, это обстоятельство?
Отвечаю.
В обсуждаемом доказательстве указанное выше обстоятельство не исследуется.
В доказательстве доказывается:
Если при условиях
$x<y<z$ – постоянные параметры, натуральные,
$1<j \leqslant 3$ – переменное (аргумент), натуральное,
существует решение уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
то это решение, в силу эквивалентности (равносильности) по пункту 1 (см. выше), должно являться решением системы уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$, (4)
и, наоборот, решение системы уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$, (4)
должно являться решением уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1)
И требуемое решение всегда существует и устанавливается перебором на первом же шаге: $j=2$.
Как видно, известное Вам условие $n = 3$ в доказательстве играет роль ограничителя интервала для $j$: $1<j \leqslant 3$.
То есть, допущение о существовании решения (числового равенства) $x^3 + y^3 = z^3$ или $x^n + y^n = z^n$ при $n = 3$ задаёт для уравнения $x^j + y^j = z^j$ область определения аргумента $1<j \leqslant 3$.
Поэтому не требуется доказывать, что из допущения
$x^3 + y^3 = z^3$
следует
$x^2 + y^2 = z^2$.
Мы, просто, решаем систему
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$ (4)
при условиях
$x<y<z$ – постоянные параметры, натуральные,
$1<j \leqslant 3$ – переменное (аргумент), натуральное.
С уважением

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Вы спрашиваете:

shwedka в сообщении #905348 писал(а):

Можете ли Вы доказать равносильность системы уравнений (3) и (4) уравнению (2) без наложения условия истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1)

При этом, если я не ошибаюсь, мы оба одинаково понимаем, что система уравнений (3) и (4) это
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$, (4)
а уравнение (2) это
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)
Теперь о Вашем вопросе.
Если мы уже располагаем доказательством того, что
«при условиях $x<y<z$ – постоянные параметры, натуральные, и $j>1$ – переменное (аргумент), натуральное, уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$, (2)
а также система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$ (4)
равносильны;»
то не проще ли сослаться на это общее утверждение, утверждая частное:
«при условиях $x<y<z$ – постоянные параметры, натуральные, и $j>1$ – переменное (аргумент), натуральное, уравнение
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$, (2)
и система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$ (4)
равносильны»?
Тем не менее, повторю, ещё раз, следующее доказательство.
Пусть справедлива система уравнений:
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)
Преобразуем уравнения этой системы к виду
$x+y- z=s_1$, (3.1)
$x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1}=s_{j-1}$. (4.1)
Перемножим соответственно левые и правые части этих уравнений
$(x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1})(x+y- z)=s_{j-1}s_1$. (5)
Левая часть уравнения (5) равна левой части уравнения (2)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)
Таким образом, равносильными (эквивалентными) преобразованиями система уравнений (3) и (4) преобразуется в уравнение (2).
Поскольку все выполненные равносильные (эквивалентные) преобразования обратимы, то несложно левую часть уравнения (2) преобразовать в систему уравнений (3) и (4).
Система (3) и (4) и уравнение (2) имеют одну и ту же область эквивалентности: натуральные $x<y<z$ и $1<j \leqslant 3$; – которая не изменяется в процессе преобразований.
Таким образом, справедливость системы (3) и (4) влечёт справедливость уравнения (2), а справедливость уравнения (2) влечёт справедливость системы (3) и (4).
Следовательно, система уравнений (3) и (4) равносильна уравнению (2).
Ч. и т.д.
Однако, надеюсь, что исключение из доказательства соотношения уравнения (1) $x^j + y^j = z^j$ не означало утверждения о ложности этого уравнения.
С уважением

[shwedka]

Цитата:

Если мы уже располагаем доказательством того, что
«при условиях $x<y<z$ – постоянные параметры, натуральные, и $j>1$ – переменное (аргумент), натуральное, уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$, (2)
а также система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$ (4)
равносильны;»

Вы таким доказательством не располагаете.

naanov в сообщении #905445 писал(а):

Левая часть уравнения (5) равна левой части уравнения (2)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)
Таким образом, равносильными (эквивалентными) преобразованиями система уравнений (3) и (4) преобразуется в уравнение (2).

Вам осталось доказать,что правая часть уравнения 5 равна правой части уравнения 2. Иначе ваше
равносильными (эквивалентными) преобразованиями система уравнений (3) и (4) преобразуется в уравнение (2) не состоялось.
Вы преобразовали 3,4 не к 2, а к 5.
а взялись преобразовывать к 2.

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Благодарен Вам за науку педантичности (математической дисциплины).
Вы предложили доказать:

shwedka в сообщении #905348 писал(а):

Можете ли Вы доказать равносильность системы уравнений (3) и (4) уравнению (2) без наложения условия истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1)

Для того, чтобы избежать взаимного непонимания в том, о каком доказательстве Вы говорите, я уточнил:

shwedka в сообщении #905450 писал(а):

При этом, если я не ошибаюсь, мы оба одинаково понимаем, что система уравнений (3) и (4) это
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$, (4)
а уравнение (2) это
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)

И в этой связи я представил:

naanov в сообщении #905445 писал(а):

... следующее доказательство.
Пусть справедлива система уравнений:
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)
Преобразуем уравнения этой системы к виду
$x+y- z=s_1$, (3.1)
$x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1}=s_{j-1}$. (4.1)
Перемножим соответственно левые и правые части этих уравнений
$(x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1})(x+y- z)=s_{j-1}s_1$. (5)
Левая часть уравнения (5) равна левой части уравнения (2)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)
Таким образом, равносильными (эквивалентными) преобразованиями система уравнений (3) и (4) преобразуется в уравнение (2).
Поскольку все выполненные равносильные (эквивалентные) преобразования обратимы, то несложно левую часть уравнения (2) преобразовать в систему уравнений (3) и (4).
Система (3) и (4) и уравнение (2) имеют одну и ту же область эквивалентности: натуральные $x<y<z$ и $1<j \leqslant 3$; – которая не изменяется в процессе преобразований.
Таким образом, справедливость системы (3) и (4) влечёт справедливость уравнения (2), а справедливость уравнения (2) влечёт справедливость системы (3) и (4).
Следовательно, система уравнений (3) и (4) равносильна уравнению (2).
Ч. и т.д.

полагая это доказательство завершённым. Основывался здесь на том, что уравнение (2), имеющее левую часть, не существует без равной ей своей правой части.
Однако, судя по Вашему заключению:

shwedka в сообщении #905450 писал(а):

Вам осталось доказать,что правая часть уравнения 5 равна правой части уравнения 2. Иначе ваше равносильными (эквивалентными) преобразованиями система уравнений (3) и (4) преобразуется в уравнение (2) не состоялось.Вы преобразовали 3,4 не к 2, а к 5.
а взялись преобразовывать к 2.

доказательство не завершено.
Продолжу доказательство с этого места:

naanov в сообщении #905445 писал(а):

Левая часть уравнения (5) равна левой части уравнения (2)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)

В силу симметричности отношения равенства, равенство
$(x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1})(x+y- z)=s_{j-1}s_1$ (5)
выражений двух функций
$f_1=(x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1})(x+y- z)$ (5.1)
$f_2=s_{j-1}s_1$, (5.2)
определяющих это уравнение (5), влечёт равенство
$s_{j-1}s_1$=(x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1})(x+y- z). (5.3)
Тогда, в силу транзитивности отношения равенства, согласно равенствам, выражающим уравнения (5.3) и (2), имеем
$s_{j-1}s_1$=(z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y). (5.4)
Таким образом, левая часть уравнения (5) равна левой части уравнения (2), а правая часть уравнения (5) равна правой части уравнения (2).
Далее, начиная с этого места:

naanov в сообщении #905445 писал(а):

Таким образом, равносильными (эквивалентными) преобразованиями система уравнений (3) и (4) преобразуется в уравнение (2);

доказательство завершается приведёнными ранее положениями.
Уважаемая shwedka!
Ещё раз, чтобы избежать взаимного непонимания, уточните, пожалуйста, Вы говорите о доказательстве утверждения:

shwedka в сообщении #905450 писал(а):

naanov в сообщении #905445 писал(а):

... система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$, (4)
и уравнение
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$ (2)

равносильны

?
Я Вас правильно понимаю?
С уважением

[shwedka]

naanov в сообщении #905581 писал(а):

Тогда, в силу транзитивности отношения равенства, согласно равенствам, выражающим уравнения (5.3) и (2), имеем
$s_{j-1}s_1$=(z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y). (5.4)

Неверно!
Вы выводите 2 из 3,4
поэтому пользоваться 2 нельзя.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

-- Пн сен 08, 2014 20:49:22 --

naanov в сообщении #905581 писал(а):

Ещё раз, чтобы избежать взаимного непонимания, уточните, пожалуйста, Вы говорите о доказательстве утверждения:shwedka в сообщении #905450
писал(а):
naanov в сообщении #905445
писал(а):
... система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$, (4)
и уравнение
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$ (2) равносильны ?
Я Вас правильно понимаю?
С уважением

именно это!!!

[naanov]

Стоп, стоп, стоп…
Уважаемая shwedka!
Либо
Задача № 1.
Пусть:
$x<y<z$ – постоянные параметры, натуральные,
$j>1$ – переменное (аргумент), натуральное,
$s_{j-1}$ – переменный параметр, зависящий от $j$: при $j=1$ имеем $s_{j-1}= s_1$.
При этих условиях определены:
а) система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$; (4)
б) уравнение
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)
Доказать, что система уравнений (3) и (4) и уравнение (2) равносильны.
Это сказано Вами здесь:

shwedka в сообщении #905348 писал(а):

Можете ли Вы доказать равносильность системы уравнений (3) и (4) уравнению (2)...?

и здесь:

shwedka в сообщении #905697 писал(а):

именно это!!!

Либо
Задача № 2.
Пусть:
$x<y<z$ – постоянные параметры, натуральные,
$j>1$ – переменное (аргумент), натуральное,
$s_{j-1}$ – переменный параметр, зависящий от $j$: при $j=1$ имеем $s_{j-1}= s_1$.
При этих условиях определена система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)
Доказать, что
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)
Это сказано здесь:

shwedka в сообщении #905697 писал(а):

Вы выводите 2 из 3,4
поэтому пользоваться 2 нельзя.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Задача № 1 и Задача № 2 – несколько различные задачи.
Задача № 1 имеет непосредственное отношение к обсуждаемому доказательству по Теме.
Задача № 2 не имеет непосредственного отношения к обсуждаемому доказательству по Теме.
Решать Задачу № 2?
Спасибо

[shwedka]

naanov в сообщении #905755 писал(а):

Задача № 1 и Задача № 2 – несколько различные задачи.

Я не вижу существенной разницы.
Задача 2 является содержательной частью задачи 1.

Цитата:

Доказать, что система уравнений (3) и (4) и уравнение (2) равносильны.

Равносильность двух утверждений A,B состоит сама из двух импликаций,
$A\Rightarrow B$, $B \Rightarrow A$


Задача 2 это одна из этих двух импликаций. другая-тривиальна.

Так что решайте любую, даже не в общем виде, а
При j=2.

[naanov]

Уважаемая shwedka!
Вы полагаете, что между Задачей 1 и Задачей 2 нет существенной разницы:

shwedka в сообщении #905759 писал(а):

Я не вижу существенной разницы.
Задача 2 является содержательной частью задачи 1.

Однако. Вот решение Задачи 1, в которой уравнение (2) дано, со всеми вытекающими свойствами.

naanov в сообщении #905445 писал(а):

…повторю, ещё раз, следующее доказательство.
Пусть справедлива система уравнений:
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)
Преобразуем уравнения этой системы к виду
$x+y- z=s_1$, (3.1)
$x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1}=s_{j-1}$. (4.1)
Перемножим соответственно левые и правые части этих уравнений
$(x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1})(x+y- z)=s_{j-1}s_1$. (5)
Левая часть уравнения (5) равна левой части уравнения (2)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)

naanov в сообщении #905581 писал(а):

В силу симметричности отношения равенства, равенство
$(x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1})(x+y- z)=s_{j-1}s_1$ (5)
выражений двух функций
$f_1=(x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1})(x+y- z)$ (5.1)
$f_2=s_{j-1}s_1$, (5.2)
определяющих это уравнение (5), влечёт равенство
$s_{j-1}s_1=(x^{j-1}+y^{j-1}- z^{j-1})(x+y- z)$. (5.3)
Тогда, в силу транзитивности отношения равенства, согласно равенствам, выражающим уравнения (5.3) и (2), имеем
$s_{j-1}s_1= (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (5.4)
Таким образом, левая часть уравнения (5) равна левой части уравнения (2), а правая часть уравнения (5) равна правой части уравнения (2).

naanov в сообщении #905445 писал(а):

Поскольку все выполненные равносильные (эквивалентные) преобразования обратимы, то несложно левую часть уравнения (2) преобразовать в систему уравнений (3) и (4).
Система (3) и (4) и уравнение (2) имеют одну и ту же область эквивалентности: натуральные $j>1$ и $x<y<z$; – которая не изменяется в процессе преобразований.
Таким образом, справедливость системы (3) и (4) влечёт справедливость уравнения (2), а справедливость уравнения (2) влечёт справедливость системы (3) и (4).
Следовательно, система уравнений (3) и (4) равносильна уравнению (2).
Ч. и т. д.

На это доказательство последовала Ваша реакция:

shwedka в сообщении #905697 писал(а):

Неверно!
Вы выводите 2 из 3,4
поэтому пользоваться 2 нельзя.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Позвольте, как Вас понимать? Оценивая и отвергая приведённое выше доказательство, Вы находите существенную разницу между Задачей 1 и Задачей 2. А именно: Вы различаете доказательство равносильности системы (3) и (4) уравнению (2) и/или вывод уравнения (2) из системы (3) и (4).
Однако, когда я пытаюсь уточнить у Вас, какую из этих двух задач Вы предлагаете решить, Вы говорите, что:

shwedka в сообщении #905759 писал(а):

Я не вижу существенной разницы.

Определитесь, пожалуйста. Есть разница или её нет.
«Существенной разницы» нет, но «пользоваться 2 нельзя.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!». Хотя, в случае Задачи 1 о равносильности - можно.
Следуем последнему Вашему предложению:

shwedka в сообщении #905759 писал(а):

Так что решайте любую…

Решаем Задачу № 2.

naanov в сообщении #905755 писал(а):

Пусть:
$x<y<z$ – постоянные параметры, натуральные,
$j>1$ – переменное (аргумент), натуральное,
$s_{j-1}$ – переменный параметр, зависящий от $j$: при $j=1$ имеем $s_{j-1}= s_1$.
При этих условиях определена система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)
Доказать, что
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (2)

1. Сначала приведем условия Задачи 2 к условиям Задачи 1, следуя Вашему справедливому заключению: "Задача 2 является содержательной частью Задачи 1"
Покажем, что независимо от существования системы уравнений (3) и (4) уравнение (2)
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$ (2)
равносильно уравнению (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1)
Действительно.
Присвоим уравнению (1), в интересах согласованности с обозначениями в последующем тексте, номер (1.1)
$x^j + y^j = z^j$. (1.1)

naanov в сообщении #903563 писал(а):

Рассмотрим следующую пару представлений левой и правой частей уравнения (1.1) и их последующие преобразования:
$x^j+y^j=$
$= x^j+(xy^{j-1}-xy^{j-1})+(xz^{j-1}-xz^{j-1})+y^j+(yx^{j-1}-yx^{j-1})+(yz^{j-1}-yz^{j-1})$, (1.2)
$z^j= z^j + (zy^{j-1}- zy^{j-1}) - z^j + (zx^{j-1}- zx^{j-1}) + z^j$; (1.3)
$x^j+y^j=$
$= (xz^{j-1}- xy^{j-1})+(x^j+xy^{j-1}-xz^{j-1})+(yx^{j-1}+y^j- yz^{j-1})+(yz^{j-1}-yx^{j-1})$, (1.4)
$z^j= (z^j - zy^{j-1}) + (zx^{j-1}+ zy^{j-1} - z^j) + (z^j - zx^{j-1})$; (1.5)
$x^j+y^j=$
$= (z^{j-1}-y^{j-1})x+(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})x+(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})y+(z^{j-1}-x^{j-1})y$, (1.6)
$z^j= (z^{j-1}-y^{j-1})z + (x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})z + (z^{j-1}-x^{j-1})z$; (1.7)
$x^j+y^j=(z^{j-1}-y^{j-1})x + (x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y) + (z^{j-1}- x^{j-1})y$, (1.8)
$z^j= (z^{j-1}-y^{j-1})z + (x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})z + (z^{j-1}- x^{j-1})z$. (1.9)
Вычтем почленно (1.9) из (1.8) и получим
$x^j + y^j - z^j=$
$= (z^{j-1}-y^{j-1})(x-z)+(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y- z) + (z^{j-1}-x^{j-1})(y-z)$. (1.10)

Приведём уравнение (2) к виду:
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) - (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) - (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)=0$
и убедимся, что
$x^j + y^j - z^j=0$.
Таким образом, из (1.10) следует, что:

naanov в сообщении #903563 писал(а):

С учетом равенства (1.1) имеем соотношение уравнения (2):
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (1.11)
Поскольку все выполненные преобразования от (1.1) до (1.10) имеют и обратные преобразования, не нарушающие эквивалентности преобразуемых выражений, то преобразовать уравнение (2) (или 1.11) в уравнение (1) (или 1.1) всегда возможно.
Таким образом, уравнения (1) и (2) эквивалентны (равносильны).

2. Теперь решим поставленную задачу.

naanov в сообщении #903207 писал(а):

Преобразуем (3) и (4) к виду
$s_1 = x + y - z$, (5)
$s_{j-1} = x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1}$. (6)
Перемножим соответствующие левые и правые части (5) и (6), что выполнимо, поскольку $x+y-z>0$ и $x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1}>0$, и является эквивалентным преобразованием:
$s_1s_{j-1} = (x + y - z)(x^{j-1}+ y^{j-1}- z^{j-1})$. (7.1)
Выполним умножение в правой части, что является эквивалентным преобразованием:
$(x+y-z)( x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$=x^j+xy^{j-1}-xz^{j-1}+yx^{j-1}+y^j-yz^{j-1}-zx^{j-1}-zy^{j-1}+z^j $. (7.2)
Выполним перегруппировку слагаемых в правой части, что является эквивалентным преобразованием:
$(x+y-z)( x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$=(x^j + y^j - zy^{j-1}- xz^{j-1} + xy^{j-1}) + (z^j - x^{j-1}z - yz^{j-1}+ yx^{j-1})$. (7.3)

Выполним эквивалентное замещение $x^j + y^j$ на $z^j$ согласно соотношению между $x^j + y^j$ и $z^j$ в уравнении (1) $x^j+y^j=z^j$, равносильном уравнению (2):

naanov в сообщении #903207 писал(а):

$(x+y-z)(x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$=(z^j - zy^{j-1}- xz^{j-1} + xy^{j-1}) + (z^j - x^{j-1}z - yz^{j-1}+ yx^{j-1})$. (7.4)
Выполним перегруппировку слагаемых в правой части, что является эквивалентным преобразованием:
$(x+y-z)( x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$ = (z^j-zy^{j-1})-(xz^{j-1}-xy^{j-1}) + (z^j-x^{j-1}z)-(yz^{j-1}-yx^{j-1})$ (7.5)
Вынесем общие множители за скобки, что выполнимо и не нарушает эквивалентность преобразования, поскольку $1 \leqslant x < y < z$:
$(x+y-z)( x^{j-1}+y^{j-1}-z^{j-1})=$
$= z(z^{j-1}-y^{j-1})-x(z^{j-1}-y^{j-1}) + z(z^{j-1}-x^{j-1})-y(z^{j-1}-x^{j-1})$. (7.6)
Вынесем общие множители за скобки, что выполнимо и не нарушает эквивалентность преобразования, поскольку из $1 \leqslant x < y < z$ – натуральные следует $1 \leqslant z^{j-1}-y{j-1}< z^{j-1}-x^{j-1}$:
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$. (7.7)
Полученное уравнение и является уравнением (2), выводимым из уравнений (3) и (4)...

Ч. и т. д.

shwedka в сообщении #905759 писал(а):

Равносильность двух утверждений A, B состоит сама из двух импликаций,
$A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow A$.
Задача 2 это одна из этих двух импликаций. другая – тривиальна.

С уважением

[shwedka]

naanov в сообщении #905921 писал(а):

«Существенной разницы» нет, но «пользоваться 2 нельзя.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!». Хотя, в случае Задачи 1 о равносильности - можно.

вы вновь ничего не понимаете.

Обозначим буквой А уравнение 2,
буквой В систему 3,4.

1. Задача 2, о равносильности, состоит из двух импликаций,
Равносильность двух утверждений A, B состоит сама из двух импликаций,
$A \Rightarrow B$, $B \Rightarrow A$.

Таким образом, доказательство равносильности должно состоять из двух доказательств,

-доказательство импликации $A \Rightarrow B$
-доказательство импликации $B \Rightarrow A$.
Два доказательства! Два различных отдельных доказательства!
Ваша задача 1- это вторая из этих двух импликаций. Первая из них тривиальна и ее доказательство неинтересно.

Чем можно пользоваться?
При доказательстве импликации $A \Rightarrow B$ можно пользоваться утверждением А, но нельзя пользоваться утверждением В

При доказательстве импликации $B \Rightarrow A$ можно пользоваться утверждением В, но нельзя пользоваться утверждением А.

Вообще, НИКОГДА, НИКОГДА, НИКОГДА при доказательстве какого-то утверждения НЕЛЬЗЯ пользоваться утверждением, которое хотим доказать. Называется по-русски порочным кругом.

Поэтому, Ваше многократно повторяемое

naanov в сообщении #905921 писал(а):

Выполним эквивалентное замещение $x^j + y^j$ на $z^j$ согласно соотношению между $x^j + y^j$ и $z^j$ в уравнении (1) $x^j+y^j=z^j$,

Содержит в себе логическую ошибку.

В дополнение предлагаю Вам подумать над числовым примером, который непосредственно опровергает эту 'эквивалентность.'
$j=2, x=6,y=7,z=8,s_1=5$
Равенства 3,4 -которые при j=2 совпадают- выполнены.
Соотношение 1, не выполнено. Этот пример противоречит импликации
$B \Rightarrow A$.
Обсуждаемая эквивалентность отсутствует.

[naanov]

Уважаемая shwedka!
В обсуждаемом доказательстве взаимосвязаны отношением эквивалентности три объекта:
1) уравнение
$x^j + y^j = z^j$, (1)
2) уравнение
$(x^{j-1} + y^{j-1}- z^{j-1})(x + y - z) = (z^{j-1} - y^{j-1})(z - x) + (z^{j-1} - x^{j-1})(z - y)$, (2)
3) система уравнений
$z=x+y-s_1$, (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$. (4)
Все эти объекты взаимно обусловлены, как это видно из доказательств эквивалентности (равносильности) уравнения (2) и системы уравнений (3) и (4) при условии истинности уравнения (1).
На мой взгляд, удаление из числа этих объектов любого из них разрушает самоё обсуждаемое доказательство и делает обсуждение оторванным от Темы.
Последнее произошло вот здесь:

shwedka в сообщении #905348 писал(а):

shwedka в сообщении #905348 писал(а):... равносильность системы уравнений (3) и (4) уравнению (2) при условии истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1)
Этоутверждение меня не интересует.
Можете ли Вы доказать равносильность системы уравнений (3) и (4) уравнению (2) без наложения условия истинности уравнения (1)
$x^j + y^j = z^j$. (1)

Не кажется ли Вам, что исключение условия истинности уравнения
$x^j + y^j = z^j$, (1)
исключает предмет обсуждения из предмета утверждения ВТФ?
Весь Ваш последний пост является иллюстрацией того, к чему приводит исключение уравнения (1) из попыток доказать равносильность уравнения (2) и системы уравнений (3) и (4).
Действительно.
Вы приводите числовой пример, который не имеет никакого отношения к уравнению (1) утверждения ВТФ
$6^2 + 7^2 = 8^2$ (???),
и не имеет никакого отношения к эквивалентности системы (3) и (4) и уравнения (2)
$(6 + 7- 8)(6 + 7 - 8) = (8 - 7)(8 - 6) + (8 - 6)(8 - 7)$ (???).
Откуда возникает этот абсурд? Что произошло?
Произошло то, что Вы упорно пытаетесь исключить из обсуждения эквивалентностей условие истинности уравнения (1):

shwedka в сообщении #905937 писал(а):

Ваше (т.е. моё)

naanov в сообщении #905921 писал(а):

...эквивалентное замещение $x^j + y^j$ на $ z^j$…

Содержит в себе логическую ошибку.

Какую логическую ошибку?
Я не пользуюсь утверждением об истинности уравнения (2). Я пользуюсь утверждением об истинности уравнения (1). Уравнение (1) отличается от уравнения (2).
Кроме того, уравнения (3), (4) и (1) являются системой уравнений:
$z=x+y-s_1$ (3)
$z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1}$ (4)
$x^j + y^j = z^j$. (1)
Уравнение (1) не выписывается в явном виде в этой системе, поскольку по условию утверждения ВТФ является общим условием, так же, как и $x<y<z$ – натуральные.
Можно поступить так: имеется система
$ \begin {cases} z=x+y-s_1 \\ z^{j-1}=x^{j-1}+y^{j-1}-s_{j-1} \\ x^j + y^j = z^j \\ j>1, j \in \mathbb {N} \\ x=\operatorname{const}, x \in \mathbb {N} \\ y=\operatorname{const}, y \in \mathbb {N} \\ z=\operatorname{const}, z \in \mathbb {N} \\ x<y<z \end {cases}$
где $N$ – множество натуральных чисел.
Доказать истинность уравнения (2).
У Вас нет возражений против такой формулировки задачи?
Исходя из этой системы, получить уравнение (2) несложно.
С уважением

[naanov]

Уважаемая shwedka!
В Вашем примере для $j=2$, а также: $x=6$, $y=7$ и $z=8$ необходимо учитывать и следствия:

naanov в сообщении #903207 писал(а):

а) Система (3) и (4) всегда имеет решение $j=2$.
б) При подстановке $j=2$ в уравнение (1) получаем
$x^2 + y^2 = z^2$, (7)
откуда
$z=(x^2+y^2)^{\frac 1 2}$. (8)
в) При подстановке в (4) получаем
$x+y-z=s_1$. (9)
После возведения в квадрат левой и правой частей этого равенства, приведения подобных и их перенесения в левую часть получим:
$x^2+y^2-z^2+s_1^2-2s_1(x+y)+2xy=0$. (10)
Убедимся, что (10) не противоречит (7), для чего, полагая $s_1$ неизвестной величиной, найдем её из уравнения
$s_1^2-2s_1(x+y)+2xy=0$. (11)
Так как $s_1<x<y<z$, то из пары решений уравнения (11) относительно $s_1$ остаётся одно решение
$s_1= (x+y)- (x^2+y^2)^{\frac 1 2}$. (12)
Откуда, подставляя значение $s_1$ из первого уравнения (3) системы (3),(4), получаем
$z=(x^2+y^2)^{\frac 1 2}$. (13)
То есть, $j=2$ является решением как уравнения (1), так и решением системы (3) и (4) и для фиксированных значений двух независимых параметров $x$ и $y$ даёт одно и то же значение зависимого параметра $z=(x^2+y^2)^{\frac 1 2}$, (8) и (13)…

В Вашем примере нарушены приведенные выше следствия:
$8 \not= (6^2+7^2)^{\frac 1 2}$.
Спасибо