непрерывность функционала

[xenich]

Помогите определить, непрерывен ли функционал $f$
$x \in l_2$
В пространстве $l_2$: $x=(\zeta_1,\zeta_2,...)$ и $||x||= (\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k^2|)^{1/2}$
$f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta_{2k}}{k}$

Линейность показывается без труда.
Чтоб доказать непрерывность, покажем ограниченность
$||f(x)||=...\leq \sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k|$

Но, Из сходимости $ \sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k^2|$ (напомню, $x \in l_2$) не следует сходимость $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k|$
то есть, не вижу возможности представить $||f(x)||\leq C||x||=C\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k^2|)^{1/2}$
есть другие возможности показать ограниченность?

[cool.phenon]

Поможет неравенство Гёльдера

[xenich]

вы это имеете ввиду?
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k1| \leq (\sum\limits_{k=1}^{\infty}|\zeta_k|^2)^{1/2}(\sum\limits_{k=1}^{\infty}1^2)^{1/2}$
вторая сумма бесконечна

[cool.phenon]

Нет, это нужно к $f(x)$ применить

[ewert]

cool.phenon в сообщении #905254 писал(а):

Поможет неравенство Гёльдера

Не Гёльдера -- это шибко уж высшая математика. Поскольку в эль-именно-два, то попросту Коши-Буняковского.

[xenich]

$cool.phenon$
$ewert$
да, я изначально не тем путём пошёл, спасибо за подсказку