Разложение функции в ряд

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: Используя табличные разложения, разложить в ряд Маклорена функцию

$$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

Я использовал биномиальное разложение

$$(1+t)^m = 1+mt + \frac{m \cdot (m-1)}{2!} \cdot t^2 + ... + \frac{m \cdot (m-1) \cdot ... \cdot (m-n+1)}{n!} \cdot t^n+..., |t|<1$$

И пришел к такому

$$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = x + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{2^n \cdot n!} \cdot x^{2n+1}, |x|<1$$

И тут возник вопрос: нужно ли проверять сходимость полученного ряда в точках $x=\pm1$ (т.е. везде выше указан интервал сходимости)?

Или же не нужно, и искомая область сходимости и будет $x \in (-1;1)$ (т.е. везде выше написана область сходимости)?

Помогите, пожалуйста, разобраться

[Otta]

Limit79 в сообщении #905214 писал(а):

И тут возник вопрос: нужно ли проверять сходимость полученного ряда в точках $x=\pm1$

Чё ее проверять, область определения-то какая у функции?

[Limit79]

Otta
Область определения у функции $|x|<1$. То есть точки не входят и проверять не нужно.

А в случае, если бы границы (или одна из них) входили в область определения функции, то нужно было бы проверять?

[Otta]

Limit79 в сообщении #905219 писал(а):

в случае, если бы границы (или одна из них) входили в область определения функции, то нужно было бы проверять?

Смотря чего Вы хотите. Посмотрите теорему Абеля на всякий случай, чтобы понять, чего можно хотеть.
А чтобы доказать равенство на интервале - нет, конечно, не нужно.

[Limit79]

Otta в сообщении #905221 писал(а):

Смотря чего Вы хотите

Хочу найти область сходимости полученного ряда.

[Otta]

Ну тогда Вы сами ответили.
Нужно.

[Limit79]

Otta
Понял.

Спасибо за помощь!