Уравнение Пуассона

[Iliya]

Помогите найти ошибку в решении:
Постановка задачи
Полый параллелепипед ограничен проводящими гранями, определяемыми шесть плоскостями $x=0, y=0, z=0, x=a, y=b, z=c$. Найти потенциал $\Phi(x,y,z)$ в произвольной точке внутри параллелепипеда, если на гранях $x=a, y=b, z=c$ потенциал нулевой и на гранях $x=0, y=0, z=0$ задаётся следующим образом: $\left.\Phi\right|_{x=0}=a^2(b-y)(c-z), \left.\Phi\right|_{y=0}=b(a-x)^2(c-z), \left.\Phi\right|_{z=0}=c(a-x)^2(b-y)$. Внутри области заряды отсутствуют.
Решение
Уравнение Пуассона: $\Delta\Phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$
Граничные условия: $\left.\Phi\right|_{x=0}=a^2(b-y)(c-z), \left.\Phi\right|_{y=0}=b(a-x)^2(c-z), \left.\Phi\right|_{z=0}=c(a-x)^2(b-y)$.
Решение будем искать в виде суммы $\Phi=\Phi_1+\Phi_2 + \Phi_3$, где $\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3$ - решение уравнения c неоднородными граничными условиями по осям ОХ, OY, OZ, соответственно.
Решение уравнения с неоднородными условиями по оси ОХ
Будем искать решение методом разделения переменных: $\Phi_1(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$ Уравнение Пуассона тогда запишется в следующем виде:

$$ \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dX^2}+\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dY^2}+\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dZ^2}=0 $$

Так как переменные разделились, то можем записать следующую систему:

$$ \left\{ \begin{array}{l} X''-\alpha^2X=0\\ Y''+\beta^2Y=0\\ Z''+\gamma^2Z=0\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} X=A_1\sinh\alpha (x-a)+B_1\cosh\alpha (x-a)\\ Y=A_2\sin\beta y + B_2\cos\beta y\\ Z=A_3\sin\gamma z + B_3\cos\gamma z \\ \end{array} \right. $$

где $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$. Удовлетворяя граничным условиям получаем: $B_1=0, B_2=0, B_3=0, \alpha_{nm}=\pi\sqrt{\left(\frac nb\right)^2+\left(\frac mc\right)^2}, \beta_n=\frac{\pi n}{b}, \gamma_m=\frac{\pi m}{c} $. Следовательно, получаем решение:

$$ \Phi_{nm}=C_{nm}\sinh\alpha_{nm} (x-a)\sin\beta_n y\sin\gamma_m z $$

$$ \Phi_1(x,y,z)=\sum_{n,m=1}^{\infty}C_{nm}\sinh(\alpha_{nm} (x-a))\sin(\beta_n y)\sin(\gamma_m z) $$

коэффициент $C_{nm}$ найдем из разложения в ряд Фурье потенциала на границе:\\

$$ C_{nm}=\frac{4}{-ab\sinh(\alpha_{nm}a)}\int_0^b dy \int_0^c dz a^2(b-y)(c-z)\sin\beta_n y\sin\gamma_m z=\frac{4}{-ab\sinh(\alpha_{nm}a)}\frac{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}{\pi^2 nm} $$

Окончательно:

$$ \Phi_1(x,y,z)=\sum_{n,m=1}^{\infty}\frac{4abc^2\sinh(\pi\sqrt{\left(\frac nb\right)^2+\left(\frac mc\right)^2} (x-a))\sin(\frac{\pi n}{b} y)\sin(\frac{\pi m}{c} z)}{-\pi^2nm \sinh(\pi a\sqrt{\left(\frac nb\right)^2+\left(\frac mc\right)^2})} $$

Решение уравнения с неоднородными условиями по оси OY
Ход решения будет аналогичным, получим разложение для потенциала:

$$ \Phi_{nm}=C_{nm}\sin\alpha_nx\sinh\beta_{nm} (y-b)\sin\gamma_m z $$

$$ \Phi_2(x,y,z)=\sum_{n,m=1}^{\infty}C_{nm}\sin\alpha_nx\sinh\beta_{nm} (y-b)\sin\gamma_m z $$

$$ C_{nm}=\frac{4}{-ac\sinh(\beta_{nm}b)}\int_0^a dx \int_0^c dz b(a-x)^2(c-z)\sin\alpha_n x\sin\gamma_m z=$$

$$= \frac{4}{-\sinh(\beta_{nm}b)}{\frac {ba^2c \left( {\pi }^{2}{n}^{2}-2+2\, \left( -1 \right) ^{n} \right) }{{\pi }^{4}m{n}^{3}}} $$

Окончательно:

$$ \Phi_2(x,y,z)=\sum_{n,m=1}^{\infty}{\frac {4ba^2c \left( {\pi }^{2}{n}^{2}-2+2\, \left( -1 \right) ^{n} \right)}{-\sinh(\pi b\sqrt{\left(\frac na\right)^2+\left(\frac mc\right)^2}){\pi }^{4}m{n}^{3}}}\sin\frac{\pi n}{a}x\sinh\left(\pi\sqrt{\left(\frac na\right)^2+\left(\frac mc\right)^2} (y-b)\right)\sin\frac{\pi m}{c} z $$

Решение задачи с неоднородными условиями по оси OZ
Ход решения будет аналогичным, получим разложение для потенциала:

$$ \Phi_{nm}=C_{nm}\sin\alpha_nx\sin\beta_my \sinh\gamma_{nm}(z-c) $$

$$ \Phi_3(x,y,z)=\sum_{n,m=1}^{\infty}C_{nm}\sin\alpha_nx\sin\beta_my \sinh\gamma_{nm}(z-c) $$

$$ C_{nm}=\frac{4}{-ab\sinh(\gamma_{nm}c)}\int_0^a dx \int_0^b dy c(a-x)^2(b-y)\sin\alpha_nx\sin\beta_my=$$

$$= \frac {4ca^2b \left( {\pi }^{2}{n}^{2}-2+2\, \left( -1 \right) ^{n} \right) }{-\sinh(\gamma_{nm}c){\pi }^{4}m{n}^{3}} $$

Окончательно:

$$ \Phi_3(x,y,z)=\sum_{n,m=1}^{\infty}\frac {4ca^2b \left( {\pi }^{2}{n}^{2}-2+2\, \left( -1 \right) ^{n} \right) }{-\sinh(\pi c\sqrt{\left(\frac na\right)^2+\left(\frac mb\right)^2}){\pi }^{4}m{n}^{3}}\sin\frac{\pi n}{a}x\sin\frac{\pi m}{b}y \sinh\left(\pi \sqrt{\left(\frac na\right)^2+\left(\frac mb\right)^2} (z-c)\right)$$

[Brukvalub]

Iliya писал(а):

Уравнение Пуассона тогда запишется в следующем виде:

$$ \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dX^2}+\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dY^2}+\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dZ^2}=0 $$

Так Вы решаете уравнение Пуассона, или уравнение Лапласа?

[Zai]

Попробуйте сделать замену
$\Phi_1 (x,y)=\Phi(x,y)-(a-x)^2(b-y)(c-z)
и порешать уравнение Пуассона.