Есть ли у хаоса структура?

[Intercooler]

Вы невнимательно прочли условие в стартовом посте, там я говорил о двух постановках, а то что было выдумано в процессе обсуждения постановкой не является. Вы правильно понимаете, что длина периода определяется количеством пройденных дуг(ребер). Посмотрите внимательней на контрпример и убедитесь, что это не контрпример вовсе.

-- 06.09.2014, 21:50 --

Для каждой из постановок существует единственное решение. Еще раз прошу прощения за неудобоваримость условия, предлагаю после решения подправить его совместными усилиями.

[Sonic86]

Не доходит наверное.
Ввиду симметрии достаточно рассмотреть вершину 1
Циклов длины 1 нет.
Цикл длины 2: $(1,2),(2,1)$
Цикл длины 3: $(1,2),(2,3),(3,1)$
Цикл длины 4: $(1,2),(2,1),(1,2),(2,1)$
Цикл длины $k+3$ получается из цикла длины $k$ добавлением цикла длины 3 для любого $k>1$.

А всевозможные непонимаемые понты о хаосе и т.п. - мусор.

[blondinko]

Intercooler в сообщении #904725 писал(а):

длина периода определяется количеством пройденных дуг. Ребер.

Так рёбер или дуг?
Ну вот смотрите.
Есть у нас число $k$. Пусть оно чётное, т.е. $k = 2n,~ n \in \mathbb{N}$. Мы просто выбираем любую вершину и любую из соединённых с ней дугами, как в приведённом выше примере-треугольнике. И начинаем крутиться между этими вершинами, пока не «истратим» $2n$ перемещений. При этом мы гарантированно остановимся в исходной вершине.
Теперь пусть оно нечётное, т.е. $k = 2n + 1,~ n \in \mathbb{N}$. Снова делаем так же, только «тратим» $2n - 2$ перемещений и оказываемся снова в исходной вершине с тремя жизнями оставшимися перемещениями. А теперь вспоминаем, что у нас треугольник, и идём по треугольнику, истратив последние 3 перемещения и снова оказавшись в начале.

[Intercooler]

Т.е. Вы предлсгаете свое решение для симметричного случая или для второй постановки задачи?

-- 06.09.2014, 21:58 --

blondinko в сообщении #904727 писал(а):

Intercooler в сообщении #904725 писал(а):

длина периода определяется количеством пройденных дуг. Ребер.

Так рёбер или дуг?
Ну вот смотрите.
Есть у нас число $k$. Пусть оно чётное, т.е. $k = 2n,~ n \in \mathbb{N}$. Мы просто выбираем любую вершину и любую из соединённых с ней дугами, как в приведённом выше примере-треугольнике. И начинаем крутиться между этими вершинами, пока не «истратим» $2n$ перемещений. При этом мы гарантированно остановимся в исходной вершине.
Теперь пусть оно нечётное, т.е. $k = 2n + 1,~ n \in \mathbb{N}$. Снова делаем так же, только «тратим» $2n - 2$ перемещений и оказываемся снова в исходной вершине с тремя жизнями оставшимися перемещениями. А теперь вспоминаем, что у нас треугольник, и идём по треугольнику, истратив последние 3 перемещения и снова оказавшись в начале.

Я не против, просто была еще постановка с несимметричной структурой- первая постановка, вот я и выпытываю, к какой из постановок относится решение уважаемого Sonic86.

-- 06.09.2014, 22:02 --

Хаос - это наличие в системе периода любой длины. Не находите взаимосвязи между этой структурой и хаосом?

[Munin]

Sonic86 в сообщении #904689 писал(а):

$(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)$

blondinko в сообщении #904714 писал(а):

$(1,2); (2,1)$

$(1,1)$
Кто ещё короче? :-)

[Intercooler]

Munin в сообщении #904731 писал(а):

Sonic86 в сообщении #904689 писал(а):

$(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)$

blondinko в сообщении #904714 писал(а):

$(1,2); (2,1)$

$(1,1)$
Кто ещё короче?

Первое решение верно для симметричного случая и имеет 6 ребер и 3 вершины.

-- 06.09.2014, 22:19 --

(Оффтоп)

Можно было бы начать выводить из этого решения физику, но если народ не увидел здесь даже хаоса, то думаю смысла нет :)

[Aritaborian]

Intercooler в сообщении #904728 писал(а):

Хаос - это наличие в системе периода любой длины.

Неправда. Не говоря уже о том, что «наличие в системе периода любой длины» — непонятный расплывчатый набор слов.

[Intercooler]

Aritaborian в сообщении #904753 писал(а):

Intercooler в сообщении #904728 писал(а):

Хаос - это наличие в системе периода любой длины.

Неправда. Не говоря уже о том, что «наличие в системе периода любой длины» — непонятный расплывчатый набор слов.

Хорошо, теорема нелинейной динамики : наличие в системе периода 3 влечет хаос. Или период 3 в системе мажорирует периоды всех размеров.

[Xaositect]

Intercooler в сообщении #904768 писал(а):

Хорошо, теорема нелинейной динамики : наличие в системе периода 3 влечет хаос

Да, но тут существенно, что же такое "система" в этой теореме. Ваш граф к динамическим системам и этой теореме прямого отношения не имеет.

[Aritaborian]

О, здесь уже больше умных слов ;-) К сожалению, непонятно, какое отношение это имеет к этому вашему направленному графу.

[Intercooler]

А я и не говорил о графе как таковом, а рассматривал движение по его ребрам.

-- 06.09.2014, 23:15 --

Под структурой я понимаю последовательность переходов между состояниями - а граф- это лишь схематическое выражение этой последовательности

[Xaositect]

Intercooler в сообщении #904775 писал(а):

А я и не говорил о графе как таковом, а рассматривал движение по его ребрам.

В динамических системах, для которых эта теорема выведена, новое состояние однозначно определяется текущим. Т.е. если представлять ее в виде графа, то из каждой вершины должно выходить ровно одно ребро. Но такое представление все равно бессмысленно, потому что теряется возможность определить непрерывность функции перехода, а без этой непрерывности теорема неверна.

[Intercooler]

Xaositect в сообщении #904779 писал(а):

Intercooler в сообщении #904775 писал(а):

А я и не говорил о графе как таковом, а рассматривал движение по его ребрам.

В динамических системах, для которых эта теорема выведена, новое состояние однозначно определяется текущим. Т.е. если представлять ее в виде графа, то из каждой вершины должно выходить ровно одно ребро. Но такое представление все равно бессмысленно, потому что теряется возможность определить непрерывность функции перехода, а без этой непрерывности теорема неверна.[/quotе]
Позволю не согласиться с Вами. Функция перехода не обязательно должна быть непрерывной, более того предположу, что она всегда носит дискретный характер при более глубоком рассмотрении.

[Xaositect]

Intercooler в сообщении #904785 писал(а):

Позволю не согласиться с Вами. Функция перехода не обязательно должна быть непрерывной, более того предположу, что она всегда носит дискретный характер при более глубоком рассмотрении.

Приведите, пожалуйста, точную формулировку теоремы, на которую Вы ссылаетесь.

[Intercooler]

Могу сослаться хотябы на порядок Шарковского, который присутствует в динамической системе при наличии там периода 3