Простенький вопрос про множества

[Twidobik]

Здравствуйте!
Пожалуйста, проясните мне следующий момент: важно ли то, как мы называем элемент множества или важно то, что вкладывается в это понятие?
Например, можно ли говорить о равенстве множеств $\left\{ {1,2,3} \right\}$ и $\left\{ {1,2,{\text{three}}} \right\}$?
Мне кажется, что если мы уверены в том, что слово "three" означает именно число "3", то имеем право приравнять множества, но вот если нам без всякий указаний даны такие два множества, как быть?

[Aritaborian]

Twidobik в сообщении #904281 писал(а):

но вот если нам без всякий указаний даны такие два множества, как быть?

Тогда это два разных множества.

[Twidobik]

Хм, а если, к примеру, в одном множестве изображены геометрические фигуры, а в другом написаны их названия, это тоже разные множества?
Получается, важно, как именно мы записывает элементы. Множества будут равными либо только с одинаковой записью элементов, либо когда будет поставлен знак равно в условии между значком треугольника и словом "треугольник". Верно?

[Aritaborian]

Да. Если мы условимся, что значок $\triangle$ и слово «треугольник» суть одно и то же, то это будет одно и то же ;-) А если не условимся, это будут разные... штуки ;-)

[Twidobik]

Aritaborian, благодарю за ответ!:-) Теперь этот момент мне полностью ясен.

[arseniiv]

Главное не перепутать названия и то, что они обозначают. Например, «$\{1,2,\mathrm{three}\}$» — это обозначение множества, которому принадлежат то, что обозначается строкой «1», то, что обозначается строкой «2», то, что обозначается строкой «three», и больше ничего. На теории множеств никак не отразится, Считаем или не считаем мы «three» и «3» именами одного и того же или разных вещей, к теории множеств относится так же, как и к вопросу об истинности $1 + 2 = \mathrm{three}$ и арифметике. Если вдруг мы в одном месте будем считать, что они обозначают разные вещи, а в другом — одну и ту же, это будет уже не математическая проблема.

Сами математические объекты никак не зависят от того, кто их как записывает, и можно ли их вообще как-то обозначить. Так что внимательнее отнеситесь к словам

Twidobik в сообщении #904291 писал(а):

в одном множестве изображены геометрические фигуры, а в другом написаны их названия

Множество состоит из чего-то, а «изображены», «написаны» — это уже про обозначения.

Лучше, конечно, взять нормальную аксиоматическую теорию — тогда места таким вопросам об обозначениях не остаётся.