Интеграл неотрицательной ненулевой функции равен нулю

[MestnyBomzh]

Приведите пример функции, интегрируемой по Риману на отрезке $[a;b]$, неотрицательной, не тождественно равной нулю и такой, что $\int_a^b f(x)dx=0$. В голову приходят только мысли о функциях, не имеющих площадь, типа Дирихле, но они не интегрируемы по Риману. В голове не укладывается, как такая функция вообще может существовать, не могли бы вы помочь?

[ИСН]

Вездэ нол, в адын точка не нол.

[Brukvalub]

Интереснее попробовать доказать, что интеграл от интегрируемой по Риману положительной во всех точках невырожденного отрезка функции обязательно будет положительным числом.

[blondinko]

Brukvalub, выделяем конечный невырожденный подотрезок, ищем минимальное значение на нём, берём его длину — а дальше оцениваем функцию снизу с помощью П-образной непрерывной, а у неё чисто по определению площадь подграфика ненулевая. QED?

[Brukvalub]

blondinko в сообщении #904222 писал(а):

Brukvalub, выделяем конечный невырожденный подотрезок, ищем минимальное значение на нём ...

Легко и беззаботно живется в мире, где у каждой функции есть минимум на отрезке.

[blondinko]

А можно какой-нибудь простенький пример всюду положительной и интегрируемой в смысле Римана функции, у которой ни на одном конечном отрезке ненулевой длины нет минимума?

[Brukvalub]

blondinko в сообщении #904229 писал(а):

А можно какой-нибудь простенький пример всюду положительной и интегрируемой в смысле Римана функции, у которой ни на одном конечном отрезке ненулевой длины нет минимума?

Несколько веков никто не мог найти примера тройки натуральных чисел, удовлетворяющей условию ВТФ, но глупые математики почему-то упорно не признавали отсутствие такого примера эквивалентным доказательству ВТФ.

[blondinko]

Brukvalub в сообщении #904223 писал(а):

Легко и беззаботно

Brukvalub в сообщении #904233 писал(а):

глупые математики

Не понимаю, к чему был этот насмешливый тон. Потроллить хотите? Право Ваше, разумеется.
Однако это никоим образом не отменяет того факта, что при любом разбиении сегмента, верхняя интегральная сумма для данной функции будет по определению больше нуля, а интегрируемость предполагает сходимость верхних и нижних сумм.
Если бы мы не могли на каком-то подсегменте задать нижнюю сумму больше нуля, то на нём у нас просто в пределе не сошлись бы суммы.

[bot]

blondinko в сообщении #904250 писал(а):

Если бы мы не могли на каком-то подсегменте задать нижнюю сумму больше нуля, то на нём у нас просто в пределе не сошлись бы суммы.

Это Вам так хочется или Вы это можете доказать?

[Brukvalub]

blondinko в сообщении #904250 писал(а):

Brukvalub в сообщении #904223 писал(а):

Легко и беззаботно

Brukvalub в сообщении #904233 писал(а):

глупые математики

Не понимаю, к чему был этот насмешливый тон. ...

Это мои эмоции в ответ на глупости, которые вы изволите здесь писАть.

[blondinko]

Brukvalub в сообщении #904254 писал(а):

Это мои эмоции в ответ на глупости, которые вы изволите здесь писАть.

Начал было доказывать, но вовремя додумался поискать сходные темы по форуму, и нашёл в них Вас придирающимся к слову «следовательно».
В связи с чем, пожалуй, сэкономлю Ваше и своё время.

[Brukvalub]

Я, если не могу чего-то доказать, тоже всегда виню в этом собеседников, тещу и военную хунту. Безотказный прием!

[blondinko]

А я, когда мне не хочется признавать своей неправоты, всегда беру собеседника «на слабó».
Всего наилучшего.
Запостите последним, и закончим это бессмысленное препирательство.

[ewert]

blondinko, ну чего Вы нервничаете. Логика ведь у Вас действительно напрочь отсутствует, как класс:

blondinko в сообщении #904229 писал(а):

А можно какой-нибудь простенький пример всюду положительной и интегрируемой в смысле Римана функции, у которой ни на одном конечном отрезке ненулевой длины нет минимума?

Я спрашивал у дяди Васи из соседнего подъезда -- он не может. Следует ли отсюда, что это невозможно?...

[ИСН]

blondinko, Ваши шаги (каждый из них) пока что не ведут никуда. К чему вот это "при любом разбиении сегмента, верхняя интегральная сумма для данной функции будет по определению больше нуля"? Пусть так. И что, величина, которая строго больше нуля, не может в пределе стремится к нулю?