Наибольшее число, делящееся на произведение своих цифр

[alexo2]

Или вот ещё:
назовем числа в такой последовательности "совершенными", если они кроме произведения делятся и на сумму цифр...
Пример: 9612
Для трех разрядов не совпадает (максимальное совершенное число для трех разрядов: 735)

-- 03.09.2014, 14:41 --

Много чего можно напридумывать - среди "совершенных" есть суперсовершенные, у которых произведение и сумма цифр совпадают, соответственно, частное от деления одно и то же (примерЫ: 13311, 13131 и т.д.) Ещё вопросы - похоже, что суперсовершенные числа могут быть составлены только из единиц и троек. Верно ли?

-- 03.09.2014, 14:46 --

Не верно - 22112 тоже суперсовершенное...

[maxal]

alexo2 в сообщении #903301 писал(а):

Или вот ещё:
назовем числа в такой последовательности "совершенными", если они кроме произведения делятся и на сумму цифр...
Пример: 9612
Для трех разрядов не совпадает (максимальное совершенное число для трех разрядов: 735)

См. A038186.

[patzer2097]

nnosipov в сообщении #903213 писал(а):

У меня вопрос по доказательству утверждения patzer2097

Исправлено.

maxal в сообщении #903214 писал(а):

Идея в том, чтобы искать члены с фиксированным числом $k$ девяток в начале, тогда идти можно с шагом $9^k$.

То есть для нахождения $n$-го числа все-таки требуется перебрать $9^{n-k}$ чисел? А как это удается, секрет в мощности процессоров, или в их количестве, или я чего-то не понял в Вашем методе?..

[maxal]

patzer2097 в сообщении #903358 писал(а):

То есть для нахождения $n$-го числа все-таки требуется перебрать $9^{n-k}$ чисел?

Скорее уж $\frac{10^{n-k}}{9^k}$. Но все конечно зависит от соотношения $n$ и $k$.

[patzer2097]

maxal, спасибо! Теперь я понял Вас, я долго не мог сообразить, что надо перебирать только числа, делящиеся на произведение первых девяток.

[maxal]

Усовершенствовал программу и довёл вычисления до 30 первых членов: https://oeis.org/A246757/b246757.txt

[alexo2]

Интересно 7-е число в последовательности (9939915), так как вполне возможно, - оно единственное, где присутствует 5-ка (иначе - любой четный разряд откидывает число из рассмотрения).

А вот бы объявить своеобразный конкурс, перемежающейся с первоначальной задачей - найти минимальное число, делящееся без остатка на все числа (1,2,3,4,5,6,7,8,9) кроме 0 (придется из-за 5-ки внести изменение в первоначальные условия)
Естественно, первоначальные условия задачи (деление числа на произведение цифр его составляющих, кроме 0, без остатка) также должны быть сохранены.

-- 04.09.2014, 09:36 --

Понятно, что вести перебор можно с шагом 362880, и, начиная с 10-ти разрядов.. Однако, сдается мне что число это будет иметь не менее 25-ти разрядов (если оно вообще существует, хотя, по идее должно существовать - с общим увеличением чисел растет и количество решений, при неизменном количестве цифр - 9). Так "далеко" моя прога не работает...

[maxal]

alexo2 в сообщении #903648 писал(а):

А вот бы объявить своеобразный конкурс, перемежающейся с первоначальной задачей - найти минимальное число, делящееся без остатка на все числа (1,2,3,4,5,6,7,8,9) кроме 0 (придется из-за 5-ки внести изменение в первоначальные условия)
Естественно, первоначальные условия задачи (деление числа на произведение цифр его составляющих, кроме 0, без остатка) также должны быть сохранены.

Минимальное такое число 9072000.

[alexo2]

maxal в сообщении #903840 писал(а):

Минимальное такое число 9072000.

Спасибо! Согласен, я некорректно (не полностью) задал условия. Имелось ввиду, чтобы ВСЕ возможные цифры десятичной СС (хоть, возможно, и не по одному разу) входили в запись числа. Пример возможной записи числа (и ничего более): 23541607998800...

[maxal]

alexo2 в сообщении #903863 писал(а):

Имелось ввиду, чтобы ВСЕ возможные цифры десятичной СС (хоть, возможно, и не по одному разу) входили в запись числа. Пример возможной записи числа (и ничего более): 23541607998800...

Тогда минимальным будет 9875416320. В нём все цифры входят ровно по одному разу.

[alexo2]

maxal в сообщении #903907 писал(а):

Тогда минимальным будет 9875416320. В нём все цифры входят ровно по одному разу.

Круто, что ещё и по одному разу!..
К тому же оно ещё и "совершенное"..

Да.. Цепь неправильных рассуждений (я считал, что надо не менее 25-ти разрядов, поэтому даже не проверял перебором) привела меня к неправильной оценке ..
Видимо, для любого количества разрядов > 10 будут существовать такие числа..