Задача по ТФКП

[Kirill_Sal]

Доказать тождество $\operatorname{Arcsin} z = -iLn(i(z+\sqrt{1-z^2}))$, где для корня берутся все его значения.
Доказывается элементарно. Возникли проблемы с нахождением области однолистности $Arcsinz$. Нужно ли мне вообще ее находить или можно как-то иначе показать справедливость тождества для всех значений корня?
Я искал так:
$ \operatorname{Arcsin} x - \operatorname{Arcsin} y = \operatorname{Arcsin} (x\sqrt{1-y^2} - y\sqrt{1-x^2})$
X,y - комплексные числа из области значений арксинуса. Получается $x^2 = y^2$. Не очень похоже на правду. Может надо отталкиваться от области однолистности синуса, а не арксинуса?

[Brukvalub]

Разве в условии задачи как-либо оговаривается, что тождество нужно доказывать в области однолистности арксинуса?

[Kirill_Sal]

Я думаю, что это подразумевается. Иначе как можно удтверждать, что равенство справедливо при всех значениях корня? И каких значениях? Для этого по идее и надо найти область однолистности.

[Brukvalub]

А что означают ЗАГЛАВНЫЕ буквы в начале записи функций?

[Kirill_Sal]

Вы имеете ввиду то, что это многозначные функции?
В том то и дело, что я не знаю, что от меня требуется. Тождество я доказал. Мне сказали, что этого недостаточно и надо доказать, что это верно для всех допустимых значений z.

[Slow]

Сколько значений принимает квадратный корень?

[мат-ламер]

А что обозначает значок "=" в доказываемой формуле?

[мат-ламер]

Kirill_Sal в сообщении #903401 писал(а):

В том то и дело, что я не знаю, что от меня требуется.

Поскольку топик-стартер куда-то пропал (а может просто не знает, что надо доказать), прошу помощь зала (специалистов) в вопросе, а что собственно надо доказать? Как я понял, требуется доказать тождество (равенство) двух аналитических функций. Что есть аналитическая функция, понимаю чисто интуитивно. Надо ли рассматривать, как устроены римановы поверхности левой и правой функции? Как проходят разрезы, склейки? Или тут можно сослаться на какие-то общие теоремы?

[Kirill_Sal]

Просто не знаю, что доказать. Знаю только, что формального вычисления недостаточно.

[mihaild]

Kirill_Sal в сообщении #903696 писал(а):

Просто не знаю, что доказать. Знаю только, что формального вычисления недостаточно.

Вы знаете, что такое многозначная аналитическая функция?


мат-ламер, а разве недостаточно показать, что на каком-то аналитическом элементе функции совпадают? (а дальше продолжаются одинаково по теореме единственности)

[мат-ламер]

Kirill_Sal
Я думаю, что вы доказали, что для конкретного $z$ множество значений левой и правой части равенства совпадают. Но, как вам указали, этого недостаточно. Т.е. надо доказать (ИМХО), что и римановы поверхности левой и правой части устроены одинаково. Подождём, пока специалисты выскажут своё мнение.

-- Чт сен 04, 2014 12:58:23 --

mihaild в сообщении #903704 писал(а):

мат-ламер, а разве недостаточно показать, что на каком-то аналитическом элементе функции совпадают? (а дальше продолжаются одинаково по теореме единственности)

Не имею понятия. Сам интересуюсь.

-- Чт сен 04, 2014 13:04:22 --

Чтобы было понятно, о чём я говорю, рассмотрим равенство $\sqrt z=-\sqrt z$. Множество значений левой и правой части совпадают. Но можем ли мы говорить о раенстве левой и правой функции?

[mihaild]

Посмотрел в Шаббате - да, получается, что это одна и та же функция.
Полная аналитическая функция - это множество пар (область, обычная аналитическая функция на области (как это правильно назвать?)), такое, что любая пара получается из любой продолжением вдоль некоторого пути.

Из этого получается, что для задания полной аналитической функции достаточно задать одну такую пару, и дальше брать все возможные продолжения. Ну и получается, что если у двух функций есть общий элемент, то они совпадают.