Преобразование пределов.

[nnosipov]

kvendingoldo в сообщении #903423 писал(а):

Скажите,а когда мы получаем формулу суммы через математическую индукцию, то мы сначала "угадываем" её?

Так или иначе она нам должна быть известна (например, дана в условии задачи). С помощью индукции можно доказать формулу, но предварительно получить её нужно каким-то другим способом.

[arseniiv]

К предыдущим советам маленькое дополнение: ещё можно посмотреть на сумму «геометрически» (и на дробь в пределе, и на весь предел), но это позволит догадаться только о значении предела, а не суммы $1^2 + \ldots + (2n-1)^2$, да и к доказательству его сводить, наверно, не стоит усилий. Но посмотреть как раз полезно.

[ИСН]

kvendingoldo в сообщении #903423 писал(а):

когда мы получаем формулу суммы через математическую индукцию, то мы сначала "угадываем" её?

Через индукцию, собственно говоря, мы её не получаем, а только доказываем. А перед этим - да, получаем, можно каким угодно образом: угадать, подсмотреть в ответе, спросить у дяди.

[mihiv]

Еще один способ. Возводя в квадрат в каждом слагаемом, можно представить исходную сумму в виде:

$$S_n=\dfrac 4{n^3}\sum \limits _{k=1}^nk^2-\dfrac 4{n^3}\sum \limits _{k=1}^nk+\dfrac n{n^3}\qquad (1)$$

Очевидно, что при $n\to \infty $ отличен от 0 только предел первой суммы в правой части равенства (1).

[kvendingoldo]

Всем спасибо за ответы! Вроде разобрался.

arseniiv в сообщении #903431 писал(а):

К предыдущим советам маленькое дополнение: ещё можно посмотреть на сумму «геометрически» (и на дробь в пределе, и на весь предел), но это позволит догадаться только о значении предела, а не суммы $1^2 + \ldots + (2n-1)^2$, да и к доказательству его сводить, наверно, не стоит усилий. Но посмотреть как раз полезно.

Это, к примеру,как с вычислением предела $\lim_{n\to \infty}\sqrt2\sqrt[4]{2}\sqrt[8]{2}(...)\sqrt[2n]{2}$?
Я нарисовал,и судя по графику предел стремится к двум.


Так же с пределом $\lim_{n\to \infty} \frac{\(1}{1*2}+ \frac{\(1}{2*3}+...+ \frac{\(1}{n(n+1)}$.
Я не смог решить математически,но интуитивно(пересчетом первых пяти-семи членов)понял,что стремится предел к единице.

[nnosipov]

kvendingoldo в сообщении #903475 писал(а):

Это, к примеру,как с вычислением предела $\lim_{n\to \infty}\sqrt2\sqrt[4]{2}\sqrt[8]{2}(...)\sqrt[2n]{2}$?

Ну, здесь-то обычная геометрическая прогрессия, совсем просто.

[Shadow]

kvendingoldo в сообщении #903475 писал(а):

Это, к примеру,как с вычислением предела $\lim_{n\to \infty}\sqrt2\sqrt[4]{2}\sqrt[8]{2}(...)\sqrt[2n]{2}$?
Я нарисовал,и судя по графику предел стремится к двум.

Здесь можно посмотреть с другой стороны на термин "геометрически" (если последний член все таки $\sqrt[2^n] 2$)
По поводу первой задачи - формулу для суммы первык $k$ квадратов просто надо знать. Наизусть и для кубов.

[arseniiv]

kvendingoldo в сообщении #903475 писал(а):

Это, к примеру,как с вычислением предела $\lim_{n\to \infty}\sqrt2\sqrt[4]{2}\sqrt[8]{2}(...)\sqrt[2n]{2}$?

Да нет, просто представьте единицу в виде кубика $1\times1\times1$. Вот у вас квадраты из таких кубиков. Вы их друг на друга накладываете, и…

…много-много накладываете, так что доля объёма получающейся фигуры в объёме параллелепипеда $n\times(2n-1)\times(2n-1)$ хорошо приближается долей объёма какой-то другой фигуры в объёме этого параллелепипеда. Такой интересной фигуры с квадратом в основании и ещё четырьмя треугольными гранями.

-- Ср сен 03, 2014 23:39:30 --

(Не беспокойтесь, если одна треугольная грань потерялась — значит, вы просто не совсем хорошо разложили квадраты, но так тоже можно.)

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

kvendingoldo, вы ведь уже умеете писать $x \to a$ под символом предела. Или разучились ;-)

[alcoholist]

kvendingoldo в сообщении #903475 писал(а):

Так же с пределом $\lim_{n\to \infty} \frac{\(1}{1*2}+ \frac{\(1}{2*3}+...+ \frac{\(1}{n(n+1)}$.

$$ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$