Дифференцируемость ФМП.

[main.c]

Пусть

$$f(x, y) = \begin{cases}x^2+y^2 \cos\frac{\pi}{x^2 + y^2}, &{x^2 + y^2} \neq 0 \\ 0, &{x^2 + y^2} = 0 \end{cases}$$

Показать, что $f$ дифференцируема в (0, 0), но её частные производные - разрывные функции в этой точке.

Я убедился, что частные производные в (0, 0) стремятся к бесконечности. А вот показать, что она дифференцируема я не могу. Да и как она может быть дифференцируема, если в этой точке не существует частных производных - что является необходимым условием дифференцируемости?

[ИСН]

Сначала одну ногу, потом другую. Пусть $f(x)=x^2\sin{1\over x}$, ну и там в нуле доопределена нулём; с ней всё ясно? Например, как она может быть дифференцируема в нуле?

[main.c]

ИСН в сообщении #902938 писал(а):

Сначала одну ногу, потом другую. Пусть $f(x)=x^2\sin{1\over x}$, ну и там в нуле доопределена нулём; с ней всё ясно? Например, как она может быть дифференцируема в нуле?

Разве она дифференцируема в 0? Производной ведь не существует в 0!

[Otta]

main.c в сообщении #903132 писал(а):

Производной ведь не существует в 0!

У какой функции? У этой?

ИСН в сообщении #902938 писал(а):

$f(x)=x^2\sin{1\over x}$, ну и там в нуле доопределена нулём

А определение производной какое?

[main.c]

Otta в сообщении #903133 писал(а):

main.c в сообщении #903132 писал(а):

Производной ведь не существует в 0!

У какой функции? У этой?

ИСН в сообщении #902938 писал(а):

$f(x)=x^2\sin{1\over x}$, ну и там в нуле доопределена нулём

А определение производной какое?

Хм, если по определению, то производная у меня 0 получилась. А если дифференцировать функцию, то получится, что производная - разрывная в 0. Что-то я в 2 соснах запутался. Почему так получается?

[Otta]

А как Вы собираетесь дифференцировать без определения в нуле? Это вне нуля Ваша функция такая, что Вы путаетесь в соснах.

[ИСН]

Если производная существует по определению (а здесь это верно) - то она существует. Каковы же Ваши методы дифференцирования, что - - - ?

[Otta]

(Оффтоп)

Понятно же, какие )