отображение взятия обратного - гладкое в группе Ли

[FFFF]

Можно ли в определении группы Ли не требовать гладкость отображения $g\to g^{-1}$, а вывести её из дифференцируемости умножения $\mu: G\times G \to G$ (хотя бы локально)? Например, можно попробовать взять окрестность единицы и применить в ней теорему о неявной функции, но непонятно, почему якобиан не будет обращаться в ноль в единице. Наверняка, в какой-нибудь книжке так и делается.

[popolznev]

Если вот так попробовать. Возьмем какую-нибудь карту на $G$ с центром в групповой единице, и запишем в соответствующих координатах разложение Тейлора для отображения $\varphi: (x,y) \mapsto x \cdot y$:

$$\varphi(x,y) = a_{00} + a_{10}x + a_{01}y + a_{20}x^2 + a_{11}xy + a_{02}y^2 + \ldots$$

Из условия $\varphi(0,0)=0$ получаем $a_{00}=0$; дальше, из условий $\varphi(x,0)=x$ и $\varphi(0,y)=y$ получается, что $a_{10}=a_{01}=1$, а остальные $a_{j0}$ и $a_{0j}$ - нулевые. А потом, стал быть, если записать разложение для отображения $\psi: x \mapsto x^{-1}$

$$\psi(x) = b_1 x + b_2 x^2 + \ldots$$

и подставить это дело в равенство $\varphi(x,\psi(x))=0$, то получим $b_1 = -1$ и так далее.

Вроде бы и получается. Странно. Наверное, где-то я всё же напутал.

[Evgenjy]

Доказательство см. Постников "Группы и алгебры Ли", Лекция 1, Предложение 1.