2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 отображение взятия обратного - гладкое в группе Ли
Сообщение26.08.2014, 16:47 


19/10/11
174
Можно ли в определении группы Ли не требовать гладкость отображения $g\to g^{-1}$, а вывести её из дифференцируемости умножения $\mu: G\times G \to G$ (хотя бы локально)? Например, можно попробовать взять окрестность единицы и применить в ней теорему о неявной функции, но непонятно, почему якобиан не будет обращаться в ноль в единице. Наверняка, в какой-нибудь книжке так и делается.

 Профиль  
                  
 
 Re: отображение взятия обратного - гладкое в группе Ли
Сообщение28.08.2014, 09:25 
Аватара пользователя


14/10/13
339
Если вот так попробовать. Возьмем какую-нибудь карту на $G$ с центром в групповой единице, и запишем в соответствующих координатах разложение Тейлора для отображения $\varphi: (x,y) \mapsto x \cdot y$:
$$\varphi(x,y) = a_{00} + a_{10}x + a_{01}y + a_{20}x^2 + a_{11}xy + a_{02}y^2 + \ldots$$
Из условия $\varphi(0,0)=0$ получаем $a_{00}=0$; дальше, из условий $\varphi(x,0)=x$ и $\varphi(0,y)=y$ получается, что $a_{10}=a_{01}=1$, а остальные $a_{j0}$ и $a_{0j}$ - нулевые. А потом, стал быть, если записать разложение для отображения $\psi: x \mapsto x^{-1}$
$$\psi(x) = b_1 x + b_2 x^2 + \ldots$$
и подставить это дело в равенство $\varphi(x,\psi(x))=0$, то получим $b_1 = -1$ и так далее.

Вроде бы и получается. Странно. Наверное, где-то я всё же напутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: отображение взятия обратного - гладкое в группе Ли
Сообщение31.08.2014, 16:34 


13/08/14
349
Доказательство см. Постников "Группы и алгебры Ли", Лекция 1, Предложение 1.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group