оценка моментов нецелого порядка

[alisa-lebovski]

Пусть $X$ - биномиальная случайная величина с параметрами $n$ и $p$. Нужно выражение для момента ${\bf M}X^\alpha$, где $\alpha\ge 1$ (не целое), или хотя бы оценка сверху для него, которая бы оставалась ограниченной при $n\to\infty,p\to 0,np\to\lambda>0$.

То есть, например, банальная оценка по неравенству Минковского ${\bf M}X^\alpha\le n^\alpha p$ не годится.

[Red_Herring]

Допустим $\alpha=m+\beta$, $\beta\in (0,1)$. Воспользуйтесь

$$(MX^\alpha)^{\frac{1}{\alpha}} \le (MX^m)^{\frac{1}{m}(1-\beta)}\times (MX^{m+1})^{\frac{1}{m+1}\beta}$$

и знанием моментов целого порядка.

Ну или аналогичные неравенства для $|X-\bar{X}|$ с $\bar{X}=MX$.

[alisa-lebovski]

Общей формулы для ${\bf M}X^m$ я тоже не знаю. Дифференцированием производящей функции моментов получается что-то страшное. Но вроде бы получается оценить, что ${\bf M}X^m\le C_m\max\{np,1\}^m$, где $C_m$ - какая-то константа. По вашей формуле отсюда следует, что ${\bf M}X^\alpha\le C_\alpha \max\{np,1\}^\alpha$. Ваша формула получена из неравенств Ляпунова и Гельдера?

[Red_Herring]

alisa-lebovski в сообщении #901875 писал(а):

Общей формулы для ${\bf M}X^m$ я тоже не знаю

А зачем тогда подчеркивали, что $\alpha$ нецелое? Но как раз при натуральном $m$ формулу легко получить через производящую функцию.