Всеукраинский турнир матбоев 2007, 2-й матбой

[dm]

2-й Всеукраинский турнир математических боев им. М.И.Ядренко
Киев

Математический бой №2
30.10.2007
Младшая лига

1. Задан остроугольный треугольник $ABC$. $O$~--- центр описанной окружности, Н~--- ортоцентр, и $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$~--- высоты $\triangle ABC$. Обозначим через $A_1$, $B_1$, $C_1$~--- центры окружностей, описанных около треугольников $BOC$, $COA$ и $AOB$ соответственно. Доказать, что прямые $A_1H_A$, $B_1H_B$, $C_1H_C$ пересекаются в однои точке, лежащей на прямой Эйлера $\triangle ABC$. Прямой Эйлера треугольника является прямая, соединяющая центр описанной окружности и центр тяжести треугольника.

2. Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ удовлетворяет следующим условиям:\\
1) $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$, $CD\parallel FA$;\\
2) расстояния между этими парами параллельных прямих~--- одинаковые;\\
3) $\angle FAB=\angle CDE=90^{\circ}$.\\
Доказать, что диагонали $BE$ и $CF$ шестиугольника пересекаются под углом $45^{\circ}$.

3. На доске один или несколько раз подряд записали натуральное число $a$ в десятичной записи и получили двоичную запись того самого числа $a$. Найдите все возможные значения $a$.

4. Восемь команд разыгрывают первенство в один круг, т.\,е. каждая команда играет с каждой другой 1 раз, при этом расписание соревнования составлено по турам~--- в каждом туре играет каждая команда. Через какое наименьшее количество туров с начала чемпионата могут быть уже известны команды, занявшие первое и последнее места (т.\,е. при любых других результатах в оставшихся турах эти команды все равно наберут наибольшее и наименьшее количество очков в строгом понимании), если это было:\\
а) первенство по волейболу, где за победу команда получает 1 очко, за поражение~--- 0 очков и
ничьих не бывает;\\
б) первенство по гандболу, где за победу команда набирает 2 очка, за поражение~--- 0 очков, за
ничью каждая команда набирает 1 очко?

5. Найти количество пар натуральных чисел $(n,m)$, удовлетворяющих уравнению $(2^k)!=2^nm$ ($n$-факториал~--- это число $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$).

6. Задан граф с $n$ вершинами. Доказать, что можно ввести ориентацию на его ребрах таким образом, чтобы модуль разности между количествами ребер, входящих в вершину и выходящих из нее, не превышал единицы.

7. Решить систему уравнений:

$$ \left\{ \begin{aligned} 3(x^2+y^2+z^2)&{}=1,\\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2&{}=xyz(x+y+z)^3. \end{aligned} \right. $$

8. Для произвольных неотрицательных чисел $x$, $y$, $z$ доказать неравенство:

$$ \frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}\,\lvert(x-y)(x-z)(y-z)\rvert. $$

9. Найти все множества $A\subset\mathbb{N}$, которые содержат по крайней мере два числа и таких, что для каждых двух
разных $x,y\in A$ число $\frac{x+y}{(x,y)}\in A$ ($(x,y)$~--- НОД чисел $x$, $y$).

10. Последовательность чисел $\{a_n\}$ задается по правилу: $a_1=a_2=1$, $a_n=\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}$, $n\ge3$. Доказать, что все члены последовательности~--- целые числа.

Математический бой №2
30.10.2007
Старшая лига

1. Задан остроугольный треугольник $ABC$. $O$~--- центр описанной окружности, Н~--- ортоцентр, и $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$~--- высоты $\triangle ABC$. Обозначим через $A_1$, $B_1$, $C_1$~--- центры окружностей, описанных около треугольников $BOC$, $COA$ и $AOB$ соответственно. Доказать, что прямые $A_1H_A$, $B_1H_B$, $C_1H_C$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера $\triangle ABC$. Прямой Эйлера треугольника является прямая, соединяющая центр описанной окружности и центр тяжести треугольника.

2. Точка $P$ выбрана на стороне $AB$ треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $BC$ выбраны точки $X$, $Y$ соответственно таким образом, что $\angle AXP=\angle BYP$. Найти геометрическое место точек $M$~--- середин отрезков $XY$, для всех возможных пар точек $X$, $Y$.

3. Последовательность вещественных чисел $\{a_n\}$ задана рекуррентно: $a_1>0$, $a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n^2+1}$. Доказать, что существует натуральное $n$, для которого $a_n>\frac{7}{10\sqrt{n}}$.

4. $p$~--- простое число и множество $S=\{1,2,\ldots,p\}$. Пусть $A_1,A_2,\ldots,A_p$~--- вершины правильного $p$-угольника, $O$~--- его центр. Найти все подмножества $\sigma\subset S$, для которых выполняется равенство: $\sum_{j\in\sigma}\overrightarrow{OA_j}=\overrightarrow{0}$.

5. Задана квадратная таблица $4\times4$. В каждой ячейке этой таблицы записан <<0>> или <<1>>. Сколько существует способов расставить эти числа так, чтобы произведение каждых двух чисел, записанных в ячейках с общей стороной, было равно 0.

6. Пусть множество $X=\mathbb{Q}\setminus\{-1,0,1\}$. Функция $f:X\to X$ определена следующим образом: $f(x)=x-\frac{1}{x}$, $f^{(1)}=f(x)$, $f^{(n)}(x)=f(f^{(n-1)}(x))$, $n\in\mathbb{N}$. Существует ли $x\in X$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$ существует $y\in X$ такое, что $f^{(n)}(y)=x$\,?

7. Найти все множества $A\subset\mathbb{N}$, которые содержат по крайней мере два числа и таких, что для каждых двух
разных $x,y\in A$ число $\frac{x+y}{(x,y)}\in A$ ($(x,y)$~--- НОД чисел $x$, $y$).

8. В треугольнике $ABC$ с углом $\angle BAC\ge60^{\circ}$ проведены биссектрисы $BD$ и $CE$. Доказать, что $AD+AE\le BC$.

9. Решить уравнение:

$$ \frac{1}{\left(3\sqrt{\frac{3}{7}-3x^2}+x\right)^3}+\frac{1}{\left(4x-2\sqrt{\frac{3}{7}-3x^2}\right)^3}+ \frac{1}{\left(\sqrt{\frac{3}{7}-3x^2}+5x\right)^3}=\frac{15}{8}. $$

10. На доске один или несколько раз подряд записали натуральное число $a$ в десятичной записи и получили двоичную запись того самого числа $a$. Найдите все возможные значения $a$.

Начало здесь:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9720
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9732

[arqady]

dm писал(а):

8. Для произвольных неотрицательных чисел $x$, $y$, $z$ доказать неравенство:

$$ \frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}\,\lvert(x-y)(x-z)(y-z)\rvert. $$

Максимальное $\alpha,$ при котором неравенство

$$ \frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz+\alpha\,\lvert(x-y)(x-z)(y-z)\rvert $$

выполняется для всех неотрицательных $x$, $y$ и $z$
равняется

$$1.467889825...=f\left(\frac{1+\sqrt3+\sqrt{2\sqrt3}}{2}\right),$$

где $f(x)=\frac{x^3+1}{3(x^2-x)}.$

[dm]

Выложил условия всех матбоев Всеукраинского турнира (начиная с 1-го и заканчивая финальным 5-м вместе с блицем после 4-го, т.е. всё кроме карусели, которая есть здесь). Часть текстов на русском, часть на украинском. Переводить в TeX нет времени.

http://77.120.100.13/file/4385944/35688 ... i2007.djvu

Зеркало1: http://rapidshare.com/files/74871923/vs ... .djvu.html

Зеркало2: http://matholymp.kiev.ua/index.php?p=fo ... 129&area=1

[Edward_Tur]

4-й матбой, задача №2: Найти все целые p > q \ge 0, такие, что неравенство

\[ \left[ {px} \right] + \left[ {py} \right] \ge \left[ {qx + y} \right] + \left[ {x + qy} \right] \]

выполнено при всех вещественных

\[ x,y \in \left[ {0;1} \right] \]

.

Красивый ответ:

\[ \left( {p - q} \right)^2 \ge q + 1 \]

[Macavity]

dm писал(а):

2-й Всеукраинский турнир математических боев им. М.И.Ядренко
Киев

[b]Математический бой №2


7. Решить систему уравнений:

$$ \left\{ \begin{aligned} 3(x^2+y^2+z^2)&{}=1,\\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2&{}=xyz(x+y+z)^3. \end{aligned} \right. $$

Следующее неравенство очевидно -
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geqslant 0$
Ясно, что равенство достигается только, если $a=b=c$

От этого неравенства, раскрывая скобки, можно прийти к следующему -
$(a+b+c)^2 \geqslant 3(ab+bc+ca)$

сделаем замену $a=xy, b=yz, c=zx$
получим
$(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3({y^2}xz+{z^2}xy+{x^2}yz)$
и дальше $(xy+yz+zx)^2 \geqslant 3xyz(x+y+z)$
и ещё дальше $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geqslant xyz(x+y+z)$

Учтем, что (нетрудно доказать) $x^2+y^2+z^2 \geqslant {\frac 1 3}(x+y+z)^2$
И так как $3(x^2+y^2+z^2)=1$, то $(x+y+z)^2 \leqslant 1$

и далее
$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geqslant xyz(x+y+z)(x+y+z)^2$

Так как $a=xy, b=yz, c=zx$
и $a=b=c$,
то решениями могут быть такие (x;y;z), что две из трёх переменных равны нулю или все три переменные равны между собой. И кроме того эти претенденты должны удлвлетворять исходным уравнениям. Всего получим 8 решений:
$ (0;0;\frac {1} {\sqrt{3}}), (0;0;-\frac {1} {\sqrt{3}}), (0;\frac {1} {\sqrt{3}};0), (0;-\frac {1} {\sqrt{3}};0), (\frac {1} {\sqrt{3}};0;0), (-\frac {1} {\sqrt{3}};0;0),(\frac 1 3;\frac 1 3;\frac 1 3),(-\frac 1 3;-\frac 1 3;-\frac 1 3)$

[RIP]

dm писал(а):

Математический бой №2
30.10.2007
Младшая лига

10. Последовательность чисел $\{a_n\}$ задается по правилу: $a_1=a_2=1$, $a_n=\frac{a_{n-1}^2+2}{a_{n-2}}$, $n\ge3$. Доказать, что все члены последовательности~--- целые числа.

Легко доказывается по индукции.