Неприводимость спектра, общая точка и нильрадикал

[OlgaD]

Пытаюсь выстроить логическую цепочку из следующих утверждений:

Цитата:

1. Спектр кольца имеет общую точку $\Leftrightarrow$ его нильрадикал прост.
2. Для спектров колец неприводимость является необходимым и достаточным условием существования общей точки.
3. Кольцо $A$ будет областью целостности $\Leftrightarrow$ $\operatornmae{Spec}\,A$ есть неприводимое топологическое пространство.

Делаю отсюда вывод, что нильрадикал кольца $A$ прост $\Leftrightarrow$ он совпадает с $(0).$ Но не уверена в его правильности. Помогите, пожалуйста.

[Xaositect]

Вывод неправильный. $В кольце k[x]/(x^2)$, например, нильрадикал $(x)$ прост, но не является нулевым идеалом.
Спектр этого кольца состоит из одной точки $(x)$, она является, очевидно, общей точкой, и спектр является неприводимым.

Неверно третье утверждение. Откуда Вы его взяли?

[Joker_vD]

3'. Нильрадикал кольца $A$ прост $\Leftrightarrow$ Простой спектр $\operatorname{Spec}A$ является неприводимым топологическим пространством.

[OlgaD]

Xaositect в сообщении #901003 писал(а):

Неверно третье утверждение. Откуда Вы его взяли?

Вообще-то из математической энциклопедии: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_math ... 0%A2%D0%AC Но доказательство мне нигде не встретилось...Значит это утверждение не верно?

Joker_vD в сообщении #901030 писал(а):

3'. Нильрадикал кольца $A$ прост $\Leftrightarrow$ Простой спектр $\operatorname{Spec}A$ является неприводимым топологическим пространством.

$\operatorname{Spec}A$ и есть простой спектр. А Ваше утверждение, похоже, выводится из 1-2.

[OlgaD]

Xaositect в сообщении #901003 писал(а):

Вывод неправильный. $В кольце k[x]/(x^2)$, например, нильрадикал $(x)$ прост, но не является нулевым идеалом. Спектр этого кольца состоит из одной точки $(x)$, она является, очевидно, общей точкой, и спектр является неприводимым.

Пытаюсь разобраться в примере. Я так поняла, предлагается рассмотреть кольцо $A=k[x]/(x^2),$ которое, похоже, не будет целостным. И доказывается, что тем не менее $\operatorname{Spec}A$ есть неприводимое топологическое пространство. Идеал $(x)$ - нильрадикал в кольце $A?$ Идеалы в факторкольце $A$ находятся во взаимно однозначном соответствии с идеалами кольца $k[x],$ содержащими идеал $(x^2).$ Значит, кольцо $A$ имеет идеалы $(0),\;(x)$ и само $k[x].$ Так как $A$ не целостно, то идеал $(0)$ не прост и в спектр кольца не попадает. Т.е. $\operatorname{Spec}A=\{(x)\}$ и $(x)$ - нильрадикал, так как он содержится во "всех" (то есть в самом себе) идеалах из спектра. Нильрадикал $(x)$ прост в $A?$

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #901139 писал(а):

Вообще-то из математической энциклопедии: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_math ... 0%A2%D0%AC Но доказательство мне нигде не встретилось...Значит это утверждение не верно?

Получается так. В английском издании есть исправление (выделение мое):

Цитата:

A ring $A$ without nilpotents is an integral domain if and only if the spectrum of $A$ is an irreducible topological space.

OlgaD в сообщении #901187 писал(а):

Идеал $(x)$ - нильрадикал в кольце $A?$

Да.

OlgaD в сообщении #901187 писал(а):

Нильрадикал $(x)$ прост в $A?$

Да, он даже максимален.

[OlgaD]

Xaositect в сообщении #901197 писал(а):

Да, он даже максимален.

Можно сказать, что он даже "вынуждено максимальный": так как любое кольцо имеет максимальный идеал и его спектр всегда не пуст, а для кольца $A$ - это вообще единственный "кандидат" на точку спектра.

Xaositect в сообщении #901197 писал(а):

Получается так. В английском издании есть исправление (выделение мое): Цитата:
A ring $A$ without nilpotents is an integral domain if and only if the spectrum of $A$ is an irreducible topological space.

Вот и верь теперь энциклопедиям.