Как свести диф. ур-ние к ур-нию для спец. функции Ламберта?

[DigitChar]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться можно ли для полученного диф. уравнения сепаратрисы
$\ddot{x}-2\varepsilon(\dot{x})^2 + e^2\varepsilon^2e^{2\varepsilon x} = 0$
найти решения в терминах спец. функции Ламберта.
В известных функциях найти решения не получается, как это часто бывает при решении более-менее реальных задач. А со спец. функциями Ламберта я раньше никогда не сталкивалась и пока что мне не удаётся свести его к ур. для этой функции. Возможно ли это? Как это сделать?

[Ms-dos4]

Сделайте замену $\[\xi (x) = {(\frac{{dx}}{{dt}})^2}\]$ и уравнение линеаризуется.
P.S.Функция Ламберта тут вообще ни при чём.

[DigitChar]

Ms-dos4 в сообщении #899255 писал(а):

Сделайте замену $\[\xi (x) = {(\frac{{dx}}{{dt}})^2}\]$ и уравнение линеаризуется.

Спасибо, Ms-dos4, за отзывчивость, но я ошиблась.
Извините, пожалуйста, пропустила множитель. Уравнение имеет вид:
$\ddot{x}-2\varepsilon(\dot{x})^2 + e^2\varepsilon^2e^{2\varepsilon x}(1+e^2\varepsilon x e^{2\varepsilon x}) = 0$
И нужно найти его решение любым способом, не обязательно именно в спец. функциях Ламберта. Но, возможно, именно в них оно решается.

[Ms-dos4]

Ничего принципиально не меняется. Та же замена $\[\xi (x) = {(\frac{{dx}}{{dt}})^2}\]$ линеаризует уравнение, и хотя бы в неявном виде вы решение точно получите.
P.S.Раз уж зашло об этом, напишу подробнее. Данное уравнение - специальный случай уравнения Рэлея $\[\ddot x + f(\dot x) + g(x) = 0\]$ с квадратичной зависимостью от первой производной $\[f(\dot x) = \beta {{\dot x}^2}\]$, этот случай очень хороший. Замена $\[\xi (x) = {{\dot x}^2}\]$ помогает для любой $\[g(x)\]$. Из замены получаете $\[\xi '(x) = 2\ddot x\]$, значит ваше уравнение имеет вид $\[\xi ' + 2\beta \xi + 2g(x) = 0\]$, а оно линейное. Для него решение легко пишется $\[\xi = {e^{ - 2\beta x}}({C_1} - 2\int {{e^{2\beta x}}g(x)dx} )\]$. Далее используя $\[\xi (x) = {(\frac{{dx}}{{dt}})^2}\]$ имеете

$$\[t = {C_2} \pm \int {\frac{{{e^{\beta x}}dx}}{{\sqrt {{C_1} - 2\int {{e^{2\beta x}}g(x)dx} } }}} \]$$

Для вашего случая $\[g(x) = {e^2}{\varepsilon ^2}{e^{2\varepsilon x}}(1 + {e^2}\varepsilon x{e^{2\varepsilon x}})\]$, сами смотрите, выразится ли в явном виде.

[DigitChar]

Ms-dos4, но $\varepsilon$ - это не функция от $\dot{x}$, это любое число.

[Someone]

DigitChar в сообщении #899727 писал(а):

но $\varepsilon$ - это не функция от $\dot{x}$, это любое число.

Тем более последуйте совету Ms-dos4.

[DigitChar]

Someone в сообщении #899728 писал(а):

DigitChar в сообщении #899727 писал(а):

но $\varepsilon$ - это не функция от $\dot{x}$, это любое число.

Тем более последуйте совету Ms-dos4.

Хорошо, спасибо.

[Ms-dos4]

DigitChar
Так я и решал для $\[\varepsilon = {\rm{const}}\]$. Eсли $\[\varepsilon \]$ была бы функцией $\[{\dot x}\]$ всё было бы очень плохо.

P.S.В моих обозначениях $\[\beta = - 2\varepsilon \]$ и $\[g(x) = {e^2}{\varepsilon ^2}{e^{2\varepsilon x}}(1 + {e^2}\varepsilon x{e^{2\varepsilon x}})\]$

[DigitChar]

Ms-dos4 в сообщении #899739 писал(а):

DigitChar
Так я и решал для $\[\varepsilon = {\rm{const}}\]$. Eсли $\[\varepsilon \]$ была бы функцией $\[{\dot x}\]$ всё было бы очень плохо.

P.S.В моих обозначениях $\[\beta = - 2\varepsilon \]$ и $\[g(x) = {e^2}{\varepsilon ^2}{e^{2\varepsilon x}}(1 + {e^2}\varepsilon x{e^{2\varepsilon x}})\]$

Ок, спасибо большое :)