Импульс поля

[Nemiroff]

Выходные на носу... Что бы такого сделать с электричеством и прочими непонятными вещами?

Возьмём что-нибудь постоянное и незыблемое в качестве источников электрического и магнитного полей.
Так как с магнитами по жизни тяжело: форма плохая, расчёты тяжелые и тому подобное, возьмём сферу.

Натурально, пусть имеется сфера радиуса $R$ с равномерно распределённым зарядом поверхностной плотности $\sigma$. Чтобы всё было не просто так, а с магнитным полем, закрутим сферу --- пусть она вращается с постоянной угловой скоростью $\mathbf{\omega}$.
Магнитное поле такой конфигурации известно: магнитный момент $\mathbf{m}=\dfrac{4\pi}{3c}\sigma R^4\mathbf{\omega}=(0,0,m)$. Поле при этом внутри постоянно, а снаружи магнитный диполь, для $\mathbf{r}=r\mathbf{e}_r$:

$$\mathbf{B}(\mathbf{r})_{in}=\dfrac{2\mathbf{m}}{R^3},\eqno{(1.1)}$$

$$\mathbf{B}(\mathbf{r})_{out}=\dfrac{3(\mathbf{m},\mathbf{e}_r)\mathbf{e}_r-\mathbf{m}}{r^3}.\eqno{(1.2)}$$

В качестве источника постоянного электрического поля (не простого, а чтоб его ещё потом убрать) возьмём диполь с дипольным моментом $\mathbf{d}=(0,d,0)$. Поле диполя есть

$$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{3(\mathbf{d},\mathbf{e}_r)\mathbf{e}_r-\mathbf{d}}{r^3}-\dfrac{4\pi}{3}\mathbf{d}\delta^3(\mathbf{r}).\eqno{(2)}$$

Ищем импульс:

$$\mathbf{p}_{em}=\int \dfrac{1}{4\pi c}[\mathbf{E},\mathbf{B}]\, dV.\eqno{(3)}$$

Сперва "внутря": $\mathbf{p}_{in}=-\dfrac{2dm}{3cR^3}\mathbf{e}_x.$ Затем "наружа": $\mathbf{p}_{out}=-\dfrac{dm}{3cR^3}\mathbf{e}_x.$
То бишь,

$$\mathbf{p}_{em}=\mathbf{p}_{in}+\mathbf{p}_{out}=-\dfrac{dm}{cR^3}\mathbf{e}_x=-\dfrac{1}{2c}[\mathbf{d},\mathbf{B}_{in}].\eqno{(4)}$$

Мда. Теперь делаем фокус --- соединяем диполь, он разряжается, на него действует сила, он получает импульс.

$$\mathbf{p}_d=\int \mathbf{F} dt = -\dfrac{1}{c}[\mathbf{d},\mathbf{B}_{in}].\eqno{(5)}$$

С другой стороны, заряд течёт, меняющееся электрическое поле индуцирует ла-ла-ла... на сферу действует сила.
Берём одно из уравнений Максвелла:

$$\int_l\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}= \frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s}.$$

Считаем $\int_s(\mathbf{E}, d\mathbf{s}) $, для этого временно направляем $\mathbf{d}$ по полярной оси, угол $\theta$ отсчитываем от неё, а для подсчёта потока будем накрывать каждый кусочек сферы $\theta \to \theta + d\theta$ сферической же шапочкой.

$$\int_s(\mathbf{E}, d\mathbf{s})=\int_0^\theta \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{r}(3(\mathbf{d},\mathbf{e}_r)\mathbf{e}_r-\mathbf{d},\mathbf{e}_r)\sin\vartheta \,d\varphi\, d\vartheta=\dfrac{2\pi d\sin^2\vartheta}{r}.\eqno{(6)}$$

Отлично, получаем $B\cdot 2 \pi r \sin\vartheta=\dfrac{2\pi \sin^2\vartheta}{cr}\dot{d}$. То бишь,

$$\mathbf{B}=\dfrac{1}{cr^2}[\dot{\mathbf{d}},\mathbf{e}_r].$$

Осталось немного, сила есть просто сила Лоренца:

$$\mathbf{F}=\dfrac{\sigma}{c}\int[[\mathbf{\omega},\mathbf{r}],\mathbf{B}]\,ds=-\dfrac{4\pi\omega\sigma R\dot{d}}{3c^2}\mathbf{e}_x.\eqno{(7)}$$

Ну и импульс:

$$\mathbf{p}_s=-\dfrac{4\pi\omega\sigma Rd}{3c^2}\mathbf{e}_x=\dfrac{1}{2c}[\mathbf{d},\mathbf{B}_{in}].\eqno{(8)}$$

И опять-таки в сумме

$$\mathbf{p}'_{em}=\mathbf{p}_d+\mathbf{p}_s=-\dfrac{1}{2c}[\mathbf{d},\mathbf{B}_{in}].\eqno{(4')}$$

Тем, кто дочитал, бонусный вопрос: а угловая скорость вращения сферы сохранится? Или я лажу посчитал? А почему ответ в конце правильный?

[Munin]

Угловая скорость вращения в таких расчётах считается заданной внешними условиями (например, есть механический двигатель, который её поддерживает). Но если хотите, можете посчитать и момент импульса, переданный сфере.

Ответ правильный потому, что и должен быть правильным :-) Вы просто посчитали для частного случая закон сохранения импульса системы "заряды + поле". Общие выкладки - ЛЛ-2 §§ 31-33.

[Nemiroff]

Ну даже если она не задана внешними условиями, пусть без двигателя --- изначально должен был дополнительный импульс в самой сфере, равный $-\mathbf{p}_{em}$. Раз у меня баланс сошёлся, после всех процедур тот дополнительный импульс в сфере так и остался, а значит, и вращение сохранилось? Или нет?

(Оффтоп)

Добавить ко всему этому какое-нибудь безумное дополнение: "найти время, за которое разряженный диполь столкнётся со сферой", и можно давать в качестве задания на семинарах по физике.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #898685 писал(а):

после всех процедур тот дополнительный импульс в сфере так и остался

Нет, извините, кончился. В выражение для того дополнительного импульса входит $d,$ а у вас стало $d=0.$

А вы что думаете, что можно взять из кармана деньги, и они там останутся?

Nemiroff в сообщении #898685 писал(а):

а значит, и вращение сохранилось?

Про вращение импульс ничего не говорит. Повторяю: считайте момент импульса.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #898693 писал(а):

Нет, извините, кончился. В выражение для того дополнительного импульса входит $d,$ а у вас стало $d=0.$

Я не про то. В системе центра инерции общий импульс должен быть нулевой. У меня изначально ненулевой. Так что он где-то ещё есть. И где-то остался.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #898694 писал(а):

В системе центра инерции общий импульс должен быть нулевой.

Хм-м-м, с чего вы взяли?

Nemiroff в сообщении #898694 писал(а):

У меня изначально ненулевой. Так что он где-то ещё есть. И где-то остался.

Был импульс поля, он исчез, и был передан механическим телам. По-моему, всё окей.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #898854 писал(а):

Хм-м-м, с чего вы взяли?

Так а как ещё --- это же почти определение центра инерции. Можно попробовать аккуратно написать, но я это как-то всегда считал определением.

-- Сб авг 23, 2014 21:56:13 --

М-м-м.
Пусть у нас есть тензор энергии-импульса $T$. При этом $T^{\alpha \beta} = T^{\beta \alpha}$, $\partial_{\nu} T^{\mu \nu} =0$.
Энергия это у нас $E=\int T^{00} \,d^3x$, импульс $p^i=\int T^{0i}\,d^3x$.
Ну вот пусть у нас центр инерции --- это $q^i=\frac{1}{E}\int T^{00}x^i \,d^3x$.
Тогда, кажись, $\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{p}/E$ (я там за скоростью света не слежу).

Мда, я вот написал это и думаю --- и чего, с чего я решил, что центр инерции изначально покоился...

[Munin]

Да, если считать центр инерции вместе с импульсом поля - вы правы. Центр инерции в системе центра инерции покоится :-)

[Nemiroff]

http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 4106073/50

Сообщения 78, 85, 95 и 96. Спасибо NT2000

Кроме того, цитирую себя из ЛС

Nemiroff писал(а):

Вот у меня получилось $\mathbf{p}_{em}=-\dfrac{1}{2c}[\mathbf{d},\mathbf{B}_{in}]$. Как я писал

Nemiroff в сообщении #898694 писал(а):

В системе центра инерции общий импульс должен быть нулевой. У меня изначально ненулевой. Так что он где-то ещё есть. И где-то остался.

значит, есть ещё скрытый импульс $\mathbf{p}_{h}=\dfrac{1}{2c}[\mathbf{d},\mathbf{B}_{in}]$.

Поскольку, в конце импульс сферы и диполя остаются в сумме такими же, скрытый импульс должен тоже остаться таким же. Из этого очень хочется сделать вывод, что этот импульс просто механический. Скрытый импульс вращающейся сферы, который интеграл от произведения тока на потенциал.
Тогда $\mathbf{p}_{h}=-\dfrac{1}{2c}\int \dfrac{\mathbf{d}\cdot \mathbf{r}}{cr^3}\cdot\sigma[\mathbf{\omega},\mathbf{r}] ds = -\dfrac{1}{2c}\cdot\dfrac{d\sigma\omega R}{c}\int \sin^2\theta\sin\varphi[\sin\theta\cos\varphi \mathbf{j} -\sin\theta\sin\varphi\mathbf{i}]d\theta d\varphi = -\dfrac{1}{2c}\cdot\dfrac{d\sigma\omega R}{c} \cdot \dfrac{4\pi\mathbf{i}}{3}=\dfrac{1}{2c}[\mathbf{d},\mathbf{B}_{in}]$

Вроде, сходится. Я так для себя это понял.

Как вывод: не надо забывать импульс где попало.

[NT2000]

Ok.
Pад, что всё выяснили