#Р7.3# Дифференциальное уравнение (Рубаков 7.3)

[_Er]

Всем привет, ребята!
Рубаков "Классические калибровочные поля", глава 7, задача 3 (и задача 5 – второе уравнение).
Найти спектр собственных значений $\lambda$ и собственных функций $f_\lambda$ уравнения:

$$-f'' + f \mu ^2 \left(3 \th ^2\left(\frac{\mu x}{\sqrt{2}}\right)-1\right)=\lambda f$$

и точно такая же задача только с коэффициентом 1 вместо 3:

$$-f'' + f \mu ^2 \left(\th ^2\left(\frac{\mu x}{\sqrt{2}}\right)-1\right)=\lambda f$$

В первом случае все $\lambda$ должны оказаться неотрицательными.

Рассказываю какие были идеи.
1. Замена $f'=uf$. Получается уравнение 1-го порядка относительно $u$:

$$-u'-u^2+\mu ^2 u \left(3 \th\left(\frac{x \mu }{\sqrt{2}}\right)^2-1\right)=\Lambda u$$

Mathematica решая его дает следующее:

$$u=\frac{e^{-x \left(\Lambda -2 \mu ^2\right)-3 \sqrt{2} \mu \th\left[\frac{x \mu }{\sqrt{2}}\right]}}{C_1+\int _1^xe^{-\left(\Lambda -2 \mu ^2\right) y-3 \sqrt{2} \mu \th\left[\frac{\mu y}{\sqrt{2}}\right]} dy}$$

то есть, если я не ошибаюсь:

$$u=\frac{d}{dx} \ln \left[C_1+\int_1^x e^{y \left(2 \mu ^2-\Lambda \right)-3 \sqrt{2} \mu \th \left(\frac{\mu y}{\sqrt{2}}\right)} \, dy\right]$$

и тогда из $(\ln f)'=u=(\ln \Psi)'$ получаем

$$f=C \Psi=C_1+C_2 \int_1^x e^{y \left(2 \mu ^2-\Lambda \right)-3 \sqrt{2} \mu \th \left(\frac{\mu y}{\sqrt{2}}\right)} \ dy$$

где $C_1,C_2$ – произвольные постоянные.
Во-первых, это какое-то уродство. Во-вторых, ничего не понятно про собственные значения $\lambda$, а как бы основная цель задачи: показать, что они неотрицательны (для первого уравнения, в котором коэффициент $3$ при $\th^2$). Ну и кроме всего этого при подстановке $f$ в исходное уравнение что-то там не особо оно удовлетворяется.

2. Такое замечание. В пределе, при больших $x$ получаются следующие уравнения:

$$-f''=(\lambda_1-2) f$$

для первого уравнения и

$$-f''=\lambda_2 f$$

для второго. Можно предположить, что если вдруг $\lambda_1$ – собственное значение первого уравнения, то $\lambda_2=\lambda_1-2$ – СЗ второго. Ну и в таком случае спектр СЗ 2-го ДУ уже может содержать отрицательные значения.

3. Если как-то угадать частное решение, то можно по известной формуле найти общее. Я пробовал всякие простые варианты, но они вообще ничего не дали.

Ну вот собственно такая задача. Идей как решать такое ДУ в лоб у меня нет вообще. Буду рад любой помощи.

[_Er]

_Er в сообщении #897928 писал(а):

...получаем

$$f=C \Psi=C_1+C_2 \int_1^x e^{y \left(2 \mu ^2-\lambda \right)-3 \sqrt{2} \mu \th \left(\frac{\mu y}{\sqrt{2}}\right)} \ dy$$

где $C_1,C_2$ – произвольные постоянные.
... ничего не понятно про собственные значения $\lambda$...

Вот вспомнил, что, когда эту задачу пробовал решить, были мысли, что, возможно, в полученном выше $f$ собственные значения определяются из соображений сходимости интеграла. Наверное, даже правильнее будет говорить об ограниченности $f$. То есть, может быть, этот интеграл сходится и ограничен для любых $x$ только при положительных значениях $\lambda$, например при $\lambda>2\mu^2$.

[V.V.]

А где условия на концах, если говорить о собственных значениях?
Там нет случайно быстрого убывания на бесконечностях? :)

[_Er]

V.V., похоже, что есть. Вообще к функции $f$ в этой задаче мы приходим следующим образом. Есть некоторое решение $\varphi_k(x)$(в данном случае решение статическое) уравнений поля. Исследуется вопрос его устойчивости. Рассматриваются малые возмущения $\phi(x,t)$ около этого решения. Поле

$$\varphi(x,t)=\varphi_k(x)+\phi(x,t)$$

должно удовлетворять уравнениям поля. Для конечности энергии требуется достаточно быстрое убывание $\varphi(x,t)$ на бесконечности. В таком случае убывать должно $\phi(x,t)$.
Позже, разделяя переменные в уравнениях для $\phi(x,t)$, получим, что $\phi(x,t)$ можно искать в виде:

$$\phi(x,t)=e^{i\omega t}f_\omega(x)$$

где $f_\omega$ удовлетворяет уравнению, которое записано в условии задачи, с $\lambda=\omega^2$.