Хан Банах

[shwedka]

На самом деле, задачи о пределе, и для функций , и для последовательностей, несколько хитрее и одного лишь применения ХБ
недостаточно. Ведь мы, как люди, в основном, трезвые, хотели бы, чтобы предел уважал и алгебраическую структуру пространства функций. Ведь у них есть структура $C^*$ алгебры, и от приличного предела мы хотим, чтобы он был алгебраическим гомоморфизмом.
С таким ограничением, существует ли хоть одно продолжение?
А если еще подзакрутить, народные массы хотели бы, чтобы предел уважал еще одну структуру, которой нет у абстрактных Банаховых пространств,
именно, упорядоченность. Хочется, чтобы предел неотрицательной функции (последовательности) был неотрицателен.
Хотя последнее, видимо, следует из уважения умножения.

[er]

Я изменю исходную задачу для удобства, вместо (0,1) рассматриваем (0,1].

Функционалы соотносятся с мерами на максимальном Стоун-Чеховском компактном расширении $\beta (0,1]$. Условие на искомый функционал

Цитата:

В нем рассмотрим подпространство У функций, имеющих предел в точке 0. Это замкнутое подпространство, как легко проверить. Рассмотрим функционал на У: предел в нуле. По ХануБанаху этот функционал можно продолжить непрерывно на Х.

эквивалентно тому, что мера сосредоточенна на наросте \beta (0,1]\setminus (0,1]$. То что

Цитата:

А если еще подзакрутить, народные массы хотели бы, чтобы предел уважал еще одну структуру, которой нет у абстрактных Банаховых пространств,
именно, упорядоченность.

эквивалентно положительной определенности меры. А условие

Цитата:

Ведь у них есть структура $C^*$ алгебры, и от приличного предела мы хотим, чтобы он был алгебраическим гомоморфизмом.

эквивалетно, тому, что мера вероятностная с одноточечным носителем (делта функция, мера Дирака) из \beta (0,1]\setminus (0,1]$.

То что точку из \beta (0,1]\setminus (0,1]$ конструктивно можно задать, нет вроде. Я описывал выше прием, что вместо $(0,1]$ можно рассматривать $\mathbb{N}$. Соответственно, вопрос о конструктивных точках в \beta \mathbb{N}\setminus \mathbb{N}$ = свободные ультрафильтры на $\mathbb{N}$.

Общеизвестно, что конструктивных ультрафильтров не бывает. А почему, кстати?

Конструктивно мало что существует..

А если взять стандартный анализ (без несчетной трасфинитной индукции) и пользоватся естественными конструкциями (немного поболее, чем в конструктивизме), то можно ли построить какой-нибуть ультрафильтр?

[MajorUrsus]

Рассмотрим функцию $FS(x)=sup \limits_{(0,x)} (f)$, где $f$ - функция из пространства X. Тогда $FS(x)$ - неубывающая ограниченная снизу функция, а потому существует

$$S[f]=lim \limits_{(x \to +0)} FS(x)$$

. Аналогично определим

$$I[f]=lim \limits_{(x \to +0)} FI(x)$$

(вместо sup взяли inf). Функционалы $S[f]$, $I[f]$, ${(S[f]+I[f])} / 2$обладают свойствами:
1) Непрерывны в пространстве функций с нормой "супремум";
2) Для функций, имеющих предел в +0, совпадают с этим пределом;
3) "уважают" упорядоченность (из $f(x)\geqslant g(x) \Rightarrow F[f]\geqslant F[g]$).

Сразу слышу разочарованное: "Но они нелинейны!". Но линейность явно в условии и не требовалась (хотя неявно, в виде ссылки на теорему Хана-Банаха, вероятно, подразумевалась).
Хотя в процессе обсуждения Руст предложил интегральный функционал с перенумерованными ядрами, этот функционал, очевидно, тоже нелинейный, но никто не возразил.

И еще. Разве подобный функционал может быть гомоморфизмом из алгебры функций в алгебру действительных чисел? Тогда должно выполняться $F[fg]=F[f]F[g]$ для любых f и g. Легко построить пример не имеющих предела в +0 неотрицательных f и g так, чтобы $fg\equiv 0$. Тогда либо F[f], либо F[g] (а скорее, из "симметрии", оба) = 0. И, вероятно, можно в конце концов доказать, что $F[f]\equiv 0$ для почти всех f.

Заранее извиняюсь за возможные ляпы, пишу в первый раз, а уж тег Math еще то... И вообще не понимаю, как такая интересная тема могла затухнуть без исчерпывающего обсуждения. Хотя и прошло уже полтора года, но что для математики время? Ау! shwedka и другие, отзовитесь!

[Someone]

MajorUrsus писал(а):

Разве подобный функционал может быть гомоморфизмом из алгебры функций в алгебру действительных чисел? Тогда должно выполняться $F[fg]=F[f]F[g]$ для любых f и g. Легко построить пример не имеющих предела в +0 неотрицательных f и g так, чтобы $fg\equiv 0$. Тогда либо F[f], либо F[g] (а скорее, из "симметрии", оба) = 0. И, вероятно, можно в конце концов доказать, что $F[f]\equiv 0$ для почти всех f.

Может быть. Вот er в предыдущем сообщении как раз о таком говорит. Всякая непрерывная ограниченная функция $f$ на $(0,1]$ продолжается по непрерывности на его расширение Стоуна - Чеха $\beta(0,1]$ (продолжение обозначим $f_{\beta}$). Взяв любую точку $\xi\in\beta(0,1]\setminus(0,1]$, можем определить искомый функционал как $f_{\beta}(\xi)$. Он будет линейным и мультипликативным, то есть, гомоморфизмом алгебр. Конструкция erа равносильна тому, что я написал с самого начала.

[Lyoha]

Соврал я немного.

[MajorUrsus]

Долго думал и, наконец, понял о чем речь: взять произвольную точку "мочалки" $\beta(0,1]\setminus(0,1]$ и ее проекцию на "ось" $f(x)$ объявить как $F[f]$ (я представляю $\beta(0,1]$ как подпространство, вложенное в пространство $\mathbb{R}^X$, где X - пространство функций, ограниченных и непрерывных на полуоткрытом интервале (0,1]). Красиво!, слов нет. В одном флаконе получаем и непрерывность, и линейность, и мультипликативность, и еще много чего (например, если $f(x)=e^g(x)$, то $F[f]=e^{F[g]}$).

Смущает одно:
Для большей наглядности с помощью преобразования $x \to 1/x$ перейдем от интервала $(0, 1]$ к $[1, +\infty)$, при этом ищем обобщенный предел не в $+0$, а в $+\infty$. Рассмотрим периодическую функцию:
$a(x)=x$ при $0\leqslant x\leqslant 1$
$a(x)=2-x$ при $1\leqslant x\leqslant 2$
$a(x)=0$ при $2\leqslant x\leqslant 4$
и далее с периодом 4. Функции b(x), c(x), d(x) определим аналогично функции a(x), но сдвинутые вправо на четверть, половину и три четверти периода соответственно (все это можно и нужно представить в виде рисунка, но никак не удается вставить в сообщение картинку). По построению:

$$a(x)+b(x)+c(x)+d(x)\equiv 1, a(x)c(x)\equiv 0, b(x)d(x)\equiv 0$$

,
поэтому

$$F[a]+F[b]+F[c]+F[d]=1, F[a]F[c]=0, F[b]F[d]=0$$

, откуда следует, что обобщенные пределы некоторых рассматриваемых функций равны 0, но не все. Пусть, например,

$$F[a]=0, F[b]\neq 0$$

. Но $a$ и $b$ отличаются лишь сдвигом, так что функционал оказывается чувствителен к преобразованию $x \to x+\alpha$, что не свойственно обычному пределу. Конечно, за обобщение надо платить, но все это выглядит необычно, я бы даже сказал, неэстетично. Мне кажется, что где-то там далеко, "почти в бесконечности", сдвиг на 1 не должен приводить к таким фатальным последствиям. Впрочем, я рассуждаю как физик (а я и есть физик!). В любом случае я беру свои слова из предыдущего сообщения назад, "симметрией" здесь и не пахнет.

А если подойти к вопросу немного по-другому? Так как по построению "мочалка" заключена в прямоугольном гиперпараллепипеде со сторонами $(S[f]-I[f])$ (функционалы $S[f]=\overline{\lim\limits_{x \to +0}} f(x)$ и $I[f]$ определены в моем предыдущем сообщении), то

$$I[f] \leqslant F[f] \leqslant S[f]$$

, что для функций, не имеющих предела в $+0$, позволяет определить функционал

$$M[f]=\frac {F[f]-I[f]} {S[f]-I[f]}$$

. Данный функционал непрерывен, подпространство функций, не имеющих предела в $+0$ всюду плотно в полном пространстве функций, поэтому $M[f]$ можно непрерывно продолжить на функции, имеющие предел в $+0$. Почему-то хочется верить, что $M[f]$ чувствителен к сдвигам $x \to q(x)$ уже для всех функций (кроме констант), так что красота, гармония, симметрия и прочая эстетика торжествуют. Интересно, а какой еще смысл имеет функционал $M[f]$? Нельзя ли его определить как-то более просто?