x^2+y^2+z^2+t^2+s^2=2xyzts

[rightways]

Решить в целых числах уравнение

$x^2+y^2+z^2+t^2+s^2=2xyzts$

[Cash]

по модулю $8$.

[Shadow]

Cash Да, все должны быть четными, но потом, после сокращения не вижу противоречий по модулю 32

[Cash]

Ага, я уже заметил, что оно неоднородное и противоречия не получается.

-- Ср авг 20, 2014 12:41:00 --

Хотя нет.
Смотрим по модулю $8$ - все четные.
$x=2x_1$... Получаем
$x_1^2+y_1^2+z_1^2+t_1^2+s_1^2=16x_1y_1z_1t_1s_1$
Здесь уже очевидно, что опять все четные и т.д.

[ИСН]

Моя первая мысль была "там справа точно циферка 2, а не 5?"

[nnosipov]

Cash в сообщении #897717 писал(а):

Получаем
$x_1^2+y_1^2+z_1^2+t_1^2+s_1^2=16x_1y_1z_1t_1s_1$
Здесь уже очевидно, что опять все четные и т.д.

А почему случай 4-х нечётных невозможен?

[Cash]

Выдал желаемое за действительное, уж слишком хотелось, чтобы левая часть по модулю $8$ равнялась количеству нечетных чисел

[mihiv]

nnosipov в сообщении #897735 писал(а):

А почему случай 4-х нечётных невозможен?

Пусть $x$- четное, $y,z,t,s$- нечетные. Выражая $x$ через остальные неизвестные получим

$$x=yzts\pm \sqrt {y^2z^2t^2s^2-y^2-z^2-t^2-s^2}$$

Под корнем число вида $8k-3$, которое не может быть квадратом.

[nnosipov]

Хм, действительно.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #898033 писал(а):

Хм, действительно.

Действительно в исходном уравнении (там договорились, что все должны быть четными). А в уравнении

Cash в сообщении #897717 писал(а):

$x_1^2+y_1^2+z_1^2+t_1^2+s_1^2=16x_1y_1z_1t_1s_1$

дискриминант другой.

[nnosipov]

Упс, формулу-то для корней я не перепроверил.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #897735 писал(а):

А почему случай 4-х нечётных невозможен?

Степень оставшегося четного числа должна быть не выше $2^1$, т.к. в противном случае четность правой части окажется выше, чем у левой, равной $2^2$. Для случая четности $2^1$ левая часть имеет четность $2^2+1+1+1+1=2^3$, правая $2\cdot 2=2^2$. Вроде, так.

[nnosipov]

Батороев, Вы, наверное, тоже не на то уравнение посмотрели. Речь идёт об уравнении

Cash в сообщении #897717 писал(а):

$x_1^2+y_1^2+z_1^2+t_1^2+s_1^2=16x_1y_1z_1t_1s_1$

[Батороев]

Точно!

[scwec]

Cash в сообщении #897717 писал(а):

...Получаем
$x_1^2+y_1^2+z_1^2+t_1^2+s_1^2=16x_1y_1z_1t_1s_1$

А это уравнение не имеет целых решений - Гурвиц постарался уже.
Он доказал, в частности, что уравнение ${x_1}^2+...+{x_n}^2=Ax_1...x_n$ при $A>n$ целых ненулевых решений не имеет.
Вот если бы, как заметил ИСН, пять вместо двух в правой части, тогда другое дело. Тут все решения получаются из единичек, так же, как в цепочках Маркова.