Как называются и описываются такие объекты?

[Nobody85]

Представим себе несколько мыльных пузырей, сцепленных друг с другом. Какие-то из них граничат друг с другом, какие-то нет. Как в топологии называются подобные топологические пространства, какими характеристиками они обладают, и как называется топологический инвариант, описывающий количество "пузырей"? Заранее спасибо)

[Munin]

В симплициальной топологии (рассматривающей только пространства, "склеенные" из многомерных треугольников - симплексов) это был бы частный случай симплициального комплекса, так что думаю, что вообще это тоже можно назвать комплексом. Чтобы точно указать, что это именно "пузыри", как я понимаю, надо уточнить, что:
1. Размерность всего комплекса 2.
2. Однородность: каждый симплекс является гранью некоторого симплекса максимальной размерности, здесь 2.
3. Отсутствие края: каждый симплекс размерности 1 является гранью не менее чем двух 2-мерных симплексов.
Тогда, группа 2-мерных гомотопий для заданной точки $\pi_2(x)=\mathbb{Z}^{n(x)},$ где $n(x)$ - количество "пузырей" на компоненте связности, в которой выбрана $x$ (в случае, если весь комплекс связен, то зависимости от $x$ нет).

[Nobody85]

Да, мне тоже приходил в голову симплициальный комплекс. Кстати, в одномерном случае мы получаем просто планарный граф, "состоящий" из n циклов. А вообще, если речь идёт о произвольных плоских графах, как в терминах групп можно обозначить число циклов, которые содержит данный граф?

[Munin]

Я так понимаю, аналогично, $\pi_1(x).$

[mishafromusa]

Здесь более уместно употребить не гомотопические группы, а группы гомологий, т.к. их гораздо легче вычислять, и не симплициальные, а клеточные комплексы или $\Delta$-комплексы, т.к. в них получается гораздо меньше клеток для того же пространства. Впрочем, справедливости ради, в высшей размерности комплекса (если она больше 1) группы гомологий и гомотопий совпадают (теорема Гуревича). Наиболее свежие результаты о задаче Плато в произвольных размерностях получены совсем недавно одной дамой из Беркли, посмотрите http://math.berkeley.edu/~harrison/Publications.html если интересно.

[mishafromusa]

Утверждение, что число пузырей равно рангу второй группы гомологий мыльной плёнки является следствием одной из теорем двойственности в теории гомологий.

[mishafromusa]

Nobody85 в сообщении #898062 писал(а):

А вообще, если речь идёт о произвольных плоских графах, как в терминах групп можно обозначить число циклов, которые содержит данный граф?

Например, ранг группы одномерных гомологий графа, годится и для неплоского графа..