Доказать, что rank(A+A^2) + rank(A-A^2) = dim L

[Legioner93]

Попалась следующая задача:

Цитата:

Пусть $\varphi$ – линейное преобразование $n$-мерного линейного пространства и $\varphi^2=\iota$.
Доказать, что:
1) $\operatorname{rank}(\varphi+\iota)+\operatorname{rank}(\varphi-\iota)=n$

Но например для $\varphi=\operatorname{diag}(2, 2)$ подобная сумма равна $2n=4$, а не $n=2$.
Я что-то неправильно понимаю?

[g______d]

А что такое $\iota$? Не единичный ли оператор?

[ИСН]

Ой, ну это банально. Приведёмся к правильному базису (ранг от этого не пострадает), тогда на диагонали будут стоять эти самые.

[Legioner93]

g______d
Ох ты ж оно как... А я решил, что это всего лишь обозначение для квадрата преобразования. Спасибо!

[g______d]

ИСН в сообщении #896563 писал(а):

Ой, ну это банально. Приведёмся к правильному базису (ранг от этого не пострадает), тогда на диагонали будут стоять эти самые.

Можно заменить $\mathrm{rank}$ на $\dim \ker$, т. к. $2n-n=n$. Тогда утверждение, действительно, просто равносильно диагонализуемости, но надо еще как-то получить последнюю. Например, заметив, что $\ker (A\pm \iota)^k=\ker(A\pm \iota)$.

[patzer2097]

g______d в сообщении #896567 писал(а):

утверждение, действительно, просто равносильно диагонализуемости, но надо еще как-то получить последнюю. Например, заметив, что

или просто, что $(\varphi+\iota)/2$ - проектор

[Legioner93]

ИСН
Красиво.
Один вопрос, ради общего развития: как "на пальцах" показать, что $\varphi$ вообще диагонализуемо (т.е. что существует базис из собственных векторов)?
В арсенале у меня есть критерий диагонализуемости: существование обнуляющего многочлена без кратных корней. Критерий идеально ложится ($p(t)=t^2-1$) на условие.
А есть ли другие способы?

-- Сб авг 16, 2014 02:15:16 --

patzer2097 в сообщении #896569 писал(а):

$(\varphi+\iota)/2$ - проектор

Супер!!

А $\varphi$ получается - отражение.