Билинейные формы.

[PeanoJr]

По определению, билинейная форма в n-мерном пространстве может быть записана следующим образом:
$\sum\limits_{i,k=1}^n a_{ik}\xi_i\eta_k$
Здесь $\xi_1,\xi_2...\xi_n$ - координаты вектора $x$ в некотором базисе.
$\eta_1,\eta_2...\eta_n$ - координаты вектора $y$ в некотором базисе.
Мне не совсем понятно,что означает запись: $a_{ik}=A(e_i;e_k)$.
Можно ли сказать, что это число равно значению билинейного функционала на базисных векторах (не уверен,что правильно выразился).
Вот, например, задача: (она решена в учебнике, но я хотел бы разобраться)

$R$ - трехмерное пространство, векторами которого являются тройки чисел $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$
Задается билинейная форма: $A(x;y)=\xi_1\eta_1+2\xi_2\eta_2+3\xi_3\eta_3$

Правильно я понимаю, это пока что общий вид билинейной формы, т.к пока что базис не задан.
Теперь задается базис: $e_1=(1,1,1),e_2=(1,1,-1),e_3=(1,-1-1)$

Правильно ли я понял, что теперь для того, чтобы найти матрицу билинейной формы $A(x;y)$ мы должны в формулу: $A(x;y)=\xi_1\eta_1+2\xi_2\eta_2+3\xi_3\eta_3$ вместо векторов $x$ и $y$ подставлять векторы $e_i$ и $e_k$.
Т.е, чтобы найти $a_{13}$ мы вместо координат векторов $x$ и $y$ подставляем координаты базисных векторов $e_1$ и $e_3$

[demolishka]

Зафиксируйте базис в пространстве с заданной билинейной формой и проделайте следующее: разложите произвольные векторы $x$ и $y$ по базису, подставьте в билинейную форму и раскройте выражение, используя свойство билинейности. Желательно, чтобы после всех ваших преобразований вы увидели, что эту сумму можно записать как $xAy^{T}$ (транспонирование меняется в зависимости от вашего предпочтения записи векторов). Ну вот матрица А называется матрицей билинейной формы в базисе. После этого, надеюсь, на свой вопрос вы ответите сами.

[ewert]

PeanoJr в сообщении #895983 писал(а):

что означает запись: $a_{ik}=A(e_i;e_k)$.
Можно ли сказать, что это число равно значению билинейного функционала на базисных векторах

Не только можно, но и нужно.

PeanoJr в сообщении #895983 писал(а):

Правильно я понимаю, это пока что общий вид билинейной формы, т.к пока что базис не задан.

Неправильно. Если "векторами являются тройки чисел $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$", то сами числа -- это координаты, причём в каком именно базисе?...

Впрочем, для решения задачи об этом задумываться вредно.

PeanoJr в сообщении #895983 писал(а):

Т.е, чтобы найти $a_{13}$ мы вместо координат векторов $x$ и $y$ подставляем координаты базисных векторов $e_1$ и $e_3$

Правильно.