Магические кубы

[Nataly-Mak]

Битва за ассоциативный куб 5-го порядка из различных простых чисел продолжается
Вчера нашла интересное приближение, такого ещё не было у меня.

Исходный куб с 2 дырками ("плохие" элементы помечены звёздочкой)

863  2837  8963  5573  5279 
 3767  4019  4397  5483  5849 
 2423  9173  1949  7013  2957 
 8609  6203  167  113  8423 
 7853  1283  8039  5333  1007* 

 1613  7109  7559  6047  1187 
 8429  557  83  5189  9257 
 3137  2153  7433  5393  5399 
 8753  7883  197  29  6653 
 1583  5813  8243  6857  1019 

 4253  6947  4463  179  7673 
 7583  269  587  8117  6959 
 7499  5783  4703  3623  1907 
 2447  1289  8819  9137  1823 
 1733  9227  4943  2459  5153 

 8387  2549  1163  3593  7823 
 2753  9377  9209  1523  653 
 4007  4013  1973  7253  6269 
 149  4217  9323  8849  977 
 8219  3359  1847  2297  7793 

 8399*  4073  1367  8123  1553 
 983  9293  9239  3203  797 
 6449  2393  7457  233  6983 
 3557  3923  5009  5387  5639 
 4127  3833  443  6569  8543 

"Плохие" элементы не являются простыми числами.
Выполняю преобразование "плюс-минус 1290" для следующих 8 элементов куба:

863   5279
7853   1007

8399   1553
4127   8543

Все элементы в результате этого преобразования стали простыми числами, но... четыре элемента повторили уже имеющиеся в кубе элементы.
Проверка в программе mertz показала эти повторяющиеся элементы:

type 2
size 5
2153 is not unique
2297 is not unique
7109 is not unique
7253 is not unique
All Sums = 23515
All Associative Sums = 9406

Вот это приближение, в котором все элементы простые числа:

2153  2837  8963  5573  3989
 3767  4019  4397  5483  5849 
 2423  9173  1949  7013  2957 
 8609  6203  167  113  8423 
 6563  1283  8039  5333  2297 

 1613  7109  7559  6047  1187 
 8429  557  83  5189  9257 
 3137  2153  7433  5393  5399 
 8753  7883  197  29  6653 
 1583  5813  8243  6857  1019 

 4253  6947  4463  179  7673 
 7583  269  587  8117  6959 
 7499  5783  4703  3623  1907 
 2447  1289  8819  9137  1823 
 1733  9227  4943  2459  5153 

 8387  2549  1163  3593  7823 
 2753  9377  9209  1523  653 
 4007  4013  1973  7253  6269 
 149  4217  9323  8849  977 
 8219  3359  1847  2297  7793 

7109  4073  1367  8123  2843
 983  9293  9239  3203  797 
 6449  2393  7457  233  6983 
 3557  3923  5009  5387  5639 
 5417  3833  443  6569  7253 

Такое ощущение, что массив простых чисел маловат, ну никак программе не хватает чисел, чтобы все они были уникальными, приходится некоторые элементы повторять
Но всё-таки куб составился полностью из простых чисел.

Дальше можно двигаться в направлении увеличения массива простых чисел. Это уже пробовала, но никак не найду подходящий массив: ни один из экспериментов не даёт так много приближений, как в случае с показанным набором простых чисел с константой комплементарности $K=9406$.

Одним словом, ассоциативный куб 5-го порядка из различных простых чисел у меня пока где-то очень далеко

[Nataly-Mak]

Если кому-то интересно...
после большого перерыва начала писать статьи о магических кубах.
Здесь статья "Магические кубы четвёртого порядка. Часть II"
http://natalimak1.narod.ru/Cube4Part2.mht

То же самое в формате pdf
http://natalimak1.narod.ru/Cube4Part2.pdf

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #860759 писал(а):

Одним словом, ассоциативный куб 5-го порядка из различных простых чисел у меня пока где-то очень далеко

Ассоциативные кубы порядков 5 и 6 из различных простых чисел мной найдены.
Задача минимизации этих решений остаётся открытой.

Решения тут

[Nataly-Mak]

Цитата:

Magic constants of associative 4 x 4 x 4 cubes composed of distinct prime numbers
A240922

1260, 1320, 1380, 1428, 1440, 1500

I have the following potential magic constants:
1512, 1548, 1560, 1584, 1596, 1608, 1620, 1632

Solution with a magic constant $S = 1548$ does not exist.
Magic constants 1512, 1584, 1608, 1632 need to be checked.
This solutions for the magic constants 1560, 1596, 1620 ...

Это сообщение сделано на сайте S. Tognon, где проходил конкурс по магическим кубам из простых чисел.
Дальше там показаны решения с магическими константами 1560, 1596 и 1620.

Сегодня завершила проверку магической константы $S=1512$ (константа ассоциативности $K=756$). Если нигде не ошиблась, ассоциативного куба 4-го порядка с такой магической константой не существует.
Проверка выполнялась очень долго, я начала её 5 августа (но у меня компьютер по ночам не работает). Вот это гримасы полного перебора! Если решение существует, оно находится за несколько минут, а если его нет - всё, улетаем в беспредел по времени, потому что необходимо выполнить полный перебор. А решения всё равно нет!

Приступаю к проверке магической константы $S=1584$.
И потом ещё проверить бы магическую константу $S=1608$. На этом, пожалуй, остановлюсь.

[Nataly-Mak]

Проверку магической константы $S=1584$ запустила.
Как и в случае с магической константой $S=1512$, решение с одной неправильной комплементарной парой находится через 2 минуты после запуска программы:

563  683  199  139 
271  313  641  359 
601  569  5  409 
149  19  739  677* 

733  349  419  83 
269  23  541  751 
509  613  331  131 
73  599  293  619 

173  499  193  719 
661  461  179  283 
41  251  769  523 
709  373  443  59 

115*  53  773  643 
383  787  223  191 
433  151  479  521 
653  593  109  229 

K= 792, S= 1584 

Неправильная комплементарная пара (677, 115), элементы этой пары в кубе помечены звёздочкой.
При этом одно из чисел пары оказалось простым, то есть в решении фактически только одно не простое число, но теоретически "дырки" всё-таки две.
Для это константы проверка вроде идёт немножко побыстрее.

Покажу массив комплементарных пар простых чисел с константой комплементарности 792, из которых составляется искомый ассоциативный куб:

5  19  23  31  41  53  59  73  83  101  109  131  139  149  151  173  179  191  193  199  223  229  251  269  271  283  293  313  331  349  353  359  373  383  409  419  433  439  443  461  479  499  509  521  523  541  563  569  593  599  601  613  619  641  643  653  661  683  691  709  719  733  739  751  761  769  773  787 

Может быть, кто-то захочет построить такой магический ассоциативный кубик, если, конечно, он существует

[Nataly-Mak]

Закончила проверку константы ассоциативности $K=792$. Решение не найдено.
Перехожу к следующей потенциальной константе ассоциативности $K=804$.
Массив простых чисел для построения этого ассоциативного куба 4-го порядка состоит из 32 комплементарных пар:

7  17  31  43  47  53  61  71  103  113  127  131  151  157  163  173  191  197  211  227  233  241  257  263  281  283  313  317  337  347  373  383  421  431  457  467  487  491  521  523  541  547  563  571  577  593  607  613  631  641  647  653  673  677  691  701  733  743  751  757  761  773  787  797

Пока не начала проверку, нет ни одного приближения к решению.

[Nataly-Mak]

Между делом закончила проверку следующих потенциальных магических констант для ассоциативных кубов 4-го порядка:

1512, 1584, 1608, 1632

Ни для одной из них моя программа решение не нашла (выполнен полный перебор).

Таким образом, в последовательность OEIS A240922 можно добавить ещё три решения - с магическими константами 1560, 1596 и 1620.
И тогда последовательность будет такая:

1260, 1320, 1380, 1428, 1440, 1500, 1560, 1596, 1620

Покажу эти три кубика

№ 7

53  599  631  277 
719  19  281  541 
751  233  7  569 
37  709  641  173 

223  643  587  107 
467  11  349  733 
523  397  23  617 
347  509  601  103 

677  179  271  433 
163  757  383  257 
47  431  769  313 
673  193  137  557 

607  139  71  743 
211  773  547  29 
239  499  761  61 
503  149  181  727 

K= 780, S= 1560 

№ 8

197  449  619  331 
521  79  409  587 
739  359  11  487 
139  709  557  191 

251  569  397  379 
727  29  641  199 
47  691  97  761 
571  307  461  257 

541  337  491  227 
37  701  107  751 
599  157  769  71 
419  401  229  547 

607  241  89  659 
311  787  439  59 
211  389  719  277 
467  179  349  601 

K= 798, S= 1596 

№ 9

137  547  587  349 
401  157  443  619 
661  347  13  599 
421  569  577  53 

457  101  751  311 
307  23  631  659 
617  727  167  109 
239  769  71  541 

269  739  41  571 
701  643  83  193 
151  179  787  503 
499  59  709  353 

757  233  241  389 
211  797  463  149 
191  367  653  409 
461  223  263  673 

K= 810, S= 1620 

[Nataly-Mak]

Опубликована моя головоломка "Associative magic cubes of prime numbers"
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_758.htm

Решаем, господа, не стесняемся

-- Сб сен 27, 2014 07:35:06 --

Nataly-Mak в сообщении #860759 писал(а):

Битва за ассоциативный куб 5-го порядка из различных простых чисел продолжается

Эту битву я выиграла!
Мне удалось в рамках конкурса построить и ассоциативный куб порядка 6 из различных простых чисел.
А вот для порядка $n=7$ я пока не построила ассоциативный куб из различных простых чисел. Построила только окаймлённый.

[Nataly-Mak]

Отличная новость!
Введены новые решения на конкурсе "Магические кубы из простых чисел".

Улучшены решения dmd для $n=5$, $n=7$.
Кроме того, на форуме выложен первый в мире магический куб 10-го порядка из простых чисел!
Фантастика! 1000 различных простых чисел сложены в магический куб! Магическая константа этого куба равна 378130.
(в конкурсе предлагалось составлять магические кубы до порядка 7 включительно - простые и ассоциативные)

Магическй куб 10-го порядка см. здесь
Решения представил Michael Huerter.

Покажу два кубика 5-го порядка.
Это решение dmd

1063 1811 1109 331 1201 
1171 673 1583 1361 727 
479 1009 1031 1879 1117 
2531 971 383 1367 263 
271 1051 1409 577 2207
 
2011 373 739 1709 683 
617 2749 1531 109 509 
619 281 1697 1597 1321 
797 811 839 1447 1621 
1471 1301 709 653 1381
 
557 647 241 2239 1831 
163 1637 1667 307 1741 
2161 571 1103 773 907 
761 1723 223 1999 809 
1873 937 2281 197 227
 
1223 397 2693 1123 79 
2267 97 631 1609 911 
587 3221 1091 53 563 
977 1663 13 389 2473 
461 137 1087 2341 1489 

661 2287 733 113 1721 
1297 359 103 2129 1627 
1669 433 593 1213 1607 
449 347 4057 313 349 
1439 2089 29 1747 211

$S=5515$

Это решение Michael Huerter

439 1049 17 1429 571 
2467 331 71 277 359 
263 1093 607 509 1033 
307 419 2137 631 11 
29 613 673 659 1531 

61 1223 811 587 823 
409 751 1123 773 449 
569 733 1091 1069 43 
1187 757 197 37 1327 
1279 41 283 1039 863
 
1549 347 433 79 1097 
239 3 1433 1087 743 
599 179 701 809 1217 
541 2069 211 547 137 
577 907 727 983 311
 
839 797 761 1061 47 
53 619 421 1051 1361 
1583 563 97 199 1063 
641 229 787 971 877 
389 1297 1439 223 157
 
617 89 1483 349 967 
337 1801 457 317 593 
491 937 1009 919 149 
829 31 173 1319 1153 
1231 647 383 601 643

$S=3505$

Хорошее улучшение. Ещё лучше для $n=7$, у dmd решение с магической константой 69811, у Michael Huerter - с магической константой 18053.
Решения смотрите на сайте ice00, где проходил конкурс.

Я уже давно и не смотрю этот конкурс: никакой надежды на то, что кто-то ещё будет заниматься задачей и получит результаты. И вдруг пришло письмо! Michael Huerter написал мне уже после того, как ввёл свои результаты для 5, 7 порядков. Для порядка 10 я посоветовала ему выложить решение на форуме. Он последовал моему совету.

[Nataly-Mak]

Совершенные магические кубы

В 1640 году П. Ферма построил почти совершенный классический магический куб 4-го порядка.
Вы можете увидеть этот куб на сайте
http://www.multimagie.com/

Позже было доказано, что классического совершенного куба 4-го порядка не существует.
Я доказала, что не существует и нетрадиционного совершенного куба 4-го порядка из различных чисел.
Совершенные кубы 4-го порядка можно составить только с повторениями чисел, что следует из общей формулы таких кубов (она мной получена).

(см. статью http://www.natalimak1.narod.ru/Cube4Part2.pdf )

Только в 2003 году Walter Trump и Christian Boyer нашли первый классический совершенный куб 5-го порядка.
Вот он:



(с сайта http://www.trump.de/magic-squares/magic ... bes-1.html )

Так этот совершенный куб выглядит в привычной записи:

25 16 80 104 90
115 98 4 1 97
42 111 85 2 75
66 72 27 102 48
67 18 119 106 5

91 77 71 6 70
52 64 117 69 13
30 118 21 123 23
26 39 92 44 114
116 17 14 73 95

47 61 45 76 86
107 43 38 33 94
89 68 63 58 37
32 93 88 83 19
40 50 81 65 79

31 53 112 109 10
12 82 34 87 100
103 3 105 8 96
113 57 9 62 74
56 120 55 49 35

121 108 7 20 59
29 28 122 125 11
51 15 41 124 84
78 54 99 24 60
36 110 46 22 101

$S=315 $

Теперь Christian Boyer очень желает видеть совершенный магический куб 5-го порядка из простых чисел
Хорошее желание! Я бы тоже хотела такой куб увидеть.
Ну, можно от мечты перейти к делу. Для начала можно попробовать получить общую формулу такого куба.

Кстати, на основе показанного классического совершенного куба 5-го порядка я построила методом составных кубов классический совершенный куб 25-го порядка. Выше, кажется, приводила ссылку на файл, в котором можно увидеть этот куб.

Определение совершенного магического куба смотрите в Википедии.

[Nataly-Mak]

Эх-ма, вот так хорошо всё забывается
Сейчас начала смотреть рабочие файлы о магических кубах. Обнаружила, что общая формула совершенного магического куба 5-го порядка мной давно получена и даже не одна, а две (в рациональных числах и в целых числах).
Обо всём подробно писала на форуме сайта ice00, читайте, начиная с поста:
http://primesmagicgames.altervista.org/ ... /#post-188

(это было во время конкурса "Магические кубы из простых чисел")

Замечу, что при получении общей формулы совершенного магического куба 5-го порядка я пользовалась отличной формулой maxal для магического квадрата 5-го порядка
post291405.html#p291405

По формуле я нашла нетрадиционный совершенный куб 5-го порядка из различных натуральных чисел.
Ну, найти такой куб вообще не задача. Можно взять любую арифметическую прогрессию длины 125 и на основе классического совершенного куба построить нетрадиционный совершенный куб.

А вот построить совершенный куб 5-го порядка из простых чисел - это задача
И я её уже пыталась решать по полученной общей формуле. Однако решение пока не получено.
Вчитаюсь в рабочий файл, вспомню, на чём я остановилась.

-- Пт апр 03, 2015 16:36:09 --

Интересный совершенный кубик 5-го порядка
получен по общей формуле в рациональных числах:

-6586.5  1663  3  997  58438.5 
 613  79  313 -85892.5  139402.5 
 619  10477  92215  296541 -345337 
 90834.5  20719 -9100 -140571  92632.5 
-30965  21577 -28916 -16559.5  109378.5 

 787  7  10369  21613  21739 
 21433  44425  21283  277 -32903 
 20899 -74093  11833  8839  87037 
 11239  20509 -1199  21397  2569 
 157  63667  12229  2389 -23927 

 8803  877  18919  12757  13159 
-8039.33333333333  20353  1783  739  39679.3333333333 
 33948.6666666667  3169  10903  18637 -12142.6666666667 
 11155.6666666667  21067  20023  1453  816.333333333333 
 8647  9049  2887  20929  13003 

 50868.5 -45098.5 -38860  84301  3304 
 39649.3333333333 -87806.5  9643  96193.5 -3164.33333333333 
-1870.66666666667  379191  9973 -270325 -62453.3333333333 
-52544.1666666667 -73367.5  13885  65596.5  100945.166666667 
 18412 -118403.5  59874  78749  15883.5 

 643  97066.5  64084 -65153 -42125.5 
 859  77464.5  21493  43198 -88499.5 
 919 -264229 -70409  823  387411 
-6170  65587.5  30906  106639.5 -142448 
 58264  78625.5  8441 -30992.5 -59823 

$S=54515$

Конечно, удобнее пользоваться формулой в целых числах, но она, увы, такая громоздкая получилась.

-- Пт апр 03, 2015 16:51:10 --

Покажу и совершенный куб 5-го порядка из различных натуральных чисел, построенный по второй общей формуле - в целых числах:

3664  2989  3053  3077  2397 
3088  3071  2977  3122  2922 
3015  2492  2429  2383  4861 
1226  3045  5849  3038  2022 
4187  3583  872  3560  2978 

3064  3050  3044  2979  3043 
3025  3037  3090  3042  2986 
3003  2943  2994  3096  3144 
2999  3012  3213  3017  2939 
3089  3138  2839  3046  3068 

3020  3034  3018  3049  3059 
3080  3016  3159  2784  3141 
1915  3115  3036  3031  4083 
3930  3066  2987  3204  1993 
3235  2949  2980  3112  2904 

2338  3692  643  3637  4870 
2985  3055  2637  3134  3369 
5962  2902  3152  3129  35 
2901  3030  3130  2924  3195 
994  2501  5618  2356  3711 

3094  2415  5422  2438  1811 
3002  3001  3317  3098  2762 
1285  3728  3569  3541  3057 
4124  3027  1  2997  5031 
3675  3009  2871  3106  2519 

$S=15180$

Осталось построить совершенный куб из различных простых чисел

[Nataly-Mak]

Покажу иллюстрацию; это нетрадиционный совершенный куб 5-го порядка, составленный из различных натуральных чисел, представленный выше.
Этот куб построен не из чисел арифметической прогрессии длины 125 на основе классического куба, а по общей формуле совершенного куба.
В этом его ценность. При построении этого куба проверена общая формула в целых числах.



Кстати, на классическом совершенном кубе эту общую формулу тоже проверила.

-- Сб апр 04, 2015 11:57:45 --

И новый куб от Michael Hürter - первый в мире магический куб 9-го порядка из различных простых чисел.

(Оффтоп)

56873 34549 120157 5903 40627 5563 2293 40039 34313
12721 6361 50383 130841 7 42859 47207 44887 5051
56171 9011 9067 22613 1009 41051 134837 40577 25981
7187 115523 80473 62299 27091 6673 9587 31333 151
85751 44491 9209 23279 97967 2749 179 28571 48121
3391 6343 28387 26209 42697 99053 7841 91373 35023
44249 61843 907 2267 72431 61031 17489 7451 72649
27947 15319 7883 50839 38737 34591 63313 31337 70351
46027 46877 33851 16067 19751 46747 57571 24749 48677

337 18773 28793 23743 62983 40639 30403 21487 113159
45631 106783 30269 733 21799 81041 18257 14821 20983
31859 49103 48079 74897 8429 59387 15377 38629 14557
30341 15077 50549 62129 42743 5569 17467 52009 64433
48341 9391 19423 14797 15667 66271 105401 53377 7649
96737 19559 10781 41179 40433 18749 53189 46021 13669
20681 4733 96233 12421 22409 36299 80749 20929 45863
39569 97919 31663 26479 11093 15383 17117 52561 48533
26821 18979 24527 83939 114761 16979 2357 40483 11471

72907 17207 20611 49739 23063 11971 79769 56369 8681
26021 15973 34747 21107 83089 26267 11621 57653 63839
6907 47623 6269 13681 38561 7793 4801 106303 108379
66071 3947 5021 29959 2017 98563 54829 45613 34297
23399 76541 70019 82963 25939 9791 2927 39317 9421
15643 62137 63079 42307 30557 40973 28031 22273 35317
49871 58391 34603 54983 45677 21143 4549 3623 67477
35537 35759 60649 29209 32783 54193 76421 7937 7829
43961 22739 45319 16369 58631 69623 77369 1229 5077

46567 94777 2521 61253 3823 21647 71419 34739 3571
19333 35437 91499 27431 26777 197 33049 11087 95507
66763 6827 2719 26203 96157 74197 1231 52733 13487
22447 9613 53959 5501 29017 46237 66653 67699 39191
41903 50989 91237 48239 17099 32003 46219 4547 8081
20113 1237 50857 4441 26111 50417 32987 47737 106417
58573 30577 12781 24203 65629 36847 42737 43787 25183
64577 55229 11411 25343 36913 43721 28573 59467 15083
41 55631 23333 117703 38791 35051 17449 18521 33797

7369 9221 14401 39619 9631 132287 44753 69163 13873
82387 24071 8951 18413 30881 5779 73727 54167 41941
32327 24659 1109 14303 71143 60779 49411 28643 57943
2027 52501 63601 25541 72673 40493 1049 9413 73019
13907 8191 41257 63059 37813 29927 12527 84089 49547
9439 148249 13399 4813 66889 12263 56249 13229 15787
66713 39679 7457 119687 8179 5923 23899 61483 7297
81527 1663 17989 42901 36191 43627 41381 7459 67579
44621 32083 172153 11981 6917 9239 37321 12671 13331

22817 10303 56989 91423 42853 6971 53069 3691 52201
34583 90059 30539 3761 104879 8597 49529 1949 16421
17981 20443 65071 49193 15889 33247 56239 21841 60413
46061 3911 65447 40883 54547 6173 34273 76039 12983
52387 26861 2371 18131 27361 5279 8423 94907 104597
117877 25411 12713 36131 17033 29789 38713 6563 56087
8783 42487 34981 15199 7027 106979 66697 23813 34351
24691 102301 61057 72229 14741 32713 17011 14957 617
15137 18541 11149 13367 55987 110569 16363 96557 2647

16703 39703 14051 39841 151273 34039 11597 15427 17683
9157 21163 57529 65707 21517 72701 16183 42773 33587
107077 41479 30493 72617 4447 14843 48473 15937 4951
26339 79669 6389 61819 24923 56737 54377 4463 25601
3919 56893 69859 46861 24517 36467 53831 31319 16651
50287 55933 32653 1877 9817 51853 13109 96731 28057
40099 22063 104003 10267 42937 50891 51613 8123 10321
37579 20101 8737 27077 40013 12197 74717 111623 8273
49157 3313 16603 14251 20873 10589 16417 13921 195193

79867 80263 32803 4423 2531 42667 27551 24953 45259
2837 38047 24593 59951 35491 96053 66173 13291 3881
2963 49121 135271 23887 43781 373 12241 18313 54367
102841 4457 6869 7703 4099 72173 43853 15791 82531
23029 58789 36583 27701 54413 5413 58543 2887 72959
21347 8837 26347 99707 40559 31741 69847 16253 25679
22079 523 29599 44159 75967 12743 44651 107717 2879
24533 8467 42611 29473 82067 75541 9311 42473 25841
60821 91813 5641 43313 1409 3613 8147 98639 26921

36877 35521 49991 24373 3533 44533 19463 74449 51577
107647 2423 11807 12373 15877 6823 24571 99689 59107
18269 92051 42239 42923 60901 48647 17707 17341 239
37003 55619 8009 44483 83207 7699 58229 37957 8111
47681 8171 359 15287 39541 152417 52267 1303 23291
5483 12611 102101 83653 66221 5479 40351 137 24281
29269 80021 19753 57131 61 8461 7933 63391 74297
4357 3559 98317 36767 47779 28351 12473 12503 96211
53731 50341 7741 23327 23197 37907 107323 33547 3203

$S=340317$

Итак, простые магические кубы порядков 3 - 10 из различных простых чисел найдены!
Ассоциативные магические кубы из различных простых чисел найдены для порядков 4 - 6 (магические кубы 3-го порядка все ассоциативны).
Для порядков 7 - 8 найдены окаймлённые (концентрические) кубы; 8-го порядка известен давно, 7-го порядка найден мной в рамках конкурса "Магические кубы из простых чисел").

Минимальные кубы найдены только: порядка 3 и ассоциативный порядка 4.
Все остальные решения требуют минимизации или доказательства минимальности найденных решений.

Ближайшие задачи по минимизации:
простой куб 4-го порядка, лучшее на сегодня решение с магической константой 780 (моё);
простой куб 5-го порядка, лучшее на сегодня решение нашёл Michael Hürter, магическая константа 3505.

[Nataly-Mak]

Интересно, что в обеих общих формулах совершенного куба 5-го порядка, полученных мной, имеется зависимость:
$S = 5 X(91)$, где S - магическая константа куба, X(91) - центральный элемент куба.

(система линейных уравнений, описывающих совершенный куб 5-го порядка, была составлена мной; систему решали в матпакетах: dmd - в рациональных числах, на форуме eхponenta.ru - в целых числах).

Вот такой получила образец совершенного куба 5-го порядка из различных натуральных чисел с центральным элементом 10903:

11531  10856  10920  10944  10264 
10955  10938  10844  10989  10789 
10882  10359  10296  10250  12728 
9093  10912  13716  10905  9889 
12054  11450  8739  11427  10845

10931  10917  10911  10846  10910 
10892  10904  10957  10909  10853 
10870  10810  10861  10963  11011 
10866  10879  11080  10884  10806 
10956  11005  10706  10913  10935

10887  10901  10885  10916  10926 
10947  10883  11026  10651  11008 
9782  10982  10903  10898  11950 
11797  10933  10854  11071  9860 
11102  10816  10847  10979  10771

10205  11559  8510  11504  12737 
10852  10922  10504  11001  11236 
13829  10769  11019  10996  7902 
10768  10897  10997  10791  11062 
8861  10368  13485  10223  11578

10961  10282  13289  10305  9678 
10869  10868  11184  10965  10629 
9152  11595  11436  11408  10924 
11991  10894  7868  10864  12898 
11542  10876  10738  10973  10386

$S=54515$

Этот куб вполне может служить прототипом (прообразом) искомого решения из различных простых чисел.

[О построении магических квадратов по образцу я писала в теме "Магические квадраты" или же в теме "Дьявольские магические квадраты из простых чисел" (точно не помню).
Понятно, что метод годится и для построения магических кубов.]

[Nataly-Mak]

И ещё один магический куб из различных простых чисел от Michael Hürter - 11-го порядка.
Грандиозно!
На куб можно посмотреть здесь.

Michael Hürter приводит в письме нижние границы магических констант для некоторых порядков и лучшие на сегодня результаты:

n lower bound best result
4 575 780
5 1612 3505
6 3705 5670
7 7461 18053
8 13622
9 23082
10 36908
11 56327

Нижние границы можно найти более точно. Для порядков 8 - 11 тоже известны результаты. Правда, они очень далеки от нижних границ.

[Nataly-Mak]

Так как дальше буду рассказывать о применении общей формулы совершенного куба 5-го порядка в целых числах, приведу эту формулу здесь.
Сначала схема куба:



(если есть вопросы по схеме, пожалуйста, задавайте; скажу только, что здесь используются переменные двух уровней - Xi, Yi).

Это общая формула в целых числах, полученная по представленной схеме:

(Оффтоп)

X(1) = 3*Z(2)-5*Z(3)-3*Z(1)+6*Z(14)+3*Z(15)+3*Z(16)+3*Z(17)-23*Z(18)+11*Z(19)-6*Z(20)-6*Z(21)+10*Z(22)+4*Z(23)+4*Z(24)-30*Z(25)+3*Z(26)+3*Z(27)+21*Z(28)+2*Z(29)+3*Z(31)-9*Z(33)+14*Z(34)+65*Z(35)-3*Z(36)+18*Z(37)-3*Z(10)+2*Z(11)-Z(12)-3*Z(13)+20*Z(4)+20*Z(5)+4*Z(6)-3*Z(7)+21*Z(8)-3*Z(9),
X(10) = Z(3)+2*Z(4)+2*Z(5)+Z(7)+3*Z(8)+Z(10)-Z(18)+2*Z(19)+Z(20)+Z(21)+2*Z(22)+2*Z(23)+2*Z(24)-2*Z(25)+2*Z(28)+Z(33)+2*Z(34)+6*Z(35)+Z(36)+4*Z(37),
X(100) = -Z(1)-Z(8)-Z(10)-Z(26)+5*Z(35),
X(102) = -6*Z(2)+9*Z(3)+5*Z(1)-10*Z(14)-5*Z(15)-5*Z(16)-5*Z(17)+40*Z(18)-19*Z(19)+10*Z(20)+10*Z(21)-18*Z(22)-7*Z(23)-7*Z(24)+52*Z(25)-5*Z(26)-5*Z(27)-36*Z(28)-4*Z(29)-6*Z(31)+16*Z(33)-24*Z(34)-105*Z(35)+5*Z(36)-31*Z(37)+5*Z(10)-4*Z(11)+Z(12)+5*Z(13)-35*Z(4)-35*Z(5)-7*Z(6)+5*Z(7)-36*Z(8)+5*Z(9),
X(11) = -2*Z(2)+3*Z(3)+3*Z(1)-6*Z(14)-3*Z(15)-3*Z(16)-3*Z(17)+18*Z(18)-9*Z(19)+4*Z(20)+4*Z(21)-10*Z(22)-5*Z(23)-5*Z(24)+24*Z(25)-3*Z(26)-3*Z(27)-18*Z(28)-2*Z(29)-3*Z(31)+6*Z(33)-12*Z(34)-46*Z(35)+Z(36)-17*Z(37)+Z(10)-2*Z(11)+Z(12)+3*Z(13)-17*Z(4)-17*Z(5)-3*Z(6)+Z(7)-18*Z(8)+3*Z(9),
X(121) = -4*Z(2)+5*Z(3)+3*Z(1)-7*Z(14)-3*Z(15)-3*Z(16)-3*Z(17)+23*Z(18)-11*Z(19)+6*Z(20)+6*Z(21)-10*Z(22)-4*Z(23)-4*Z(24)+30*Z(25)-3*Z(26)-3*Z(27)-21*Z(28)-3*Z(29)-3*Z(31)+9*Z(33)-14*Z(34)-60*Z(35)+3*Z(36)-18*Z(37)+3*Z(10)-2*Z(11)+Z(12)+3*Z(13)-20*Z(4)-20*Z(5)-4*Z(6)+3*Z(7)-21*Z(8)+3*Z(9),
X(122) = 2*Z(2)-5*Z(3)-3*Z(1)+6*Z(14)+3*Z(15)+3*Z(16)+2*Z(17)-23*Z(18)+11*Z(19)-6*Z(20)-6*Z(21)+10*Z(22)+4*Z(23)+4*Z(24)-30*Z(25)+3*Z(26)+3*Z(27)+21*Z(28)+2*Z(29)+2*Z(31)-9*Z(33)+14*Z(34)+65*Z(35)-3*Z(36)+18*Z(37)-3*Z(10)+2*Z(11)-2*Z(13)+20*Z(4)+20*Z(5)+4*Z(6)-3*Z(7)+21*Z(8)-2*Z(9),
X(123) = -8*Z(2)+20*Z(3)+12*Z(1)-24*Z(14)-12*Z(15)-13*Z(16)-12*Z(17)+86*Z(18)-42*Z(19)+26*Z(20)+24*Z(21)-36*Z(22)-14*Z(23)-14*Z(24)+112*Z(25)-12*Z(26)-12*Z(27)-80*Z(28)-8*Z(29)-Z(30)-11*Z(31)-Z(32)+34*Z(33)-54*Z(34)-219*Z(35)+12*Z(36)-66*Z(37)+12*Z(10)-8*Z(11)+8*Z(13)-78*Z(4)-76*Z(5)-14*Z(6)+12*Z(7)-78*Z(8)+8*Z(9),
X(124) = 2*Z(2)-5*Z(3)-3*Z(1)+6*Z(14)+2*Z(15)+3*Z(16)+3*Z(17)-20*Z(18)+10*Z(19)-7*Z(20)-6*Z(21)+8*Z(22)+3*Z(23)+3*Z(24)-26*Z(25)+3*Z(26)+3*Z(27)+19*Z(28)+2*Z(29)+2*Z(31)-8*Z(33)+13*Z(34)+52*Z(35)-3*Z(36)+15*Z(37)-3*Z(10)+2*Z(11)-2*Z(13)+19*Z(4)+18*Z(5)+3*Z(6)-3*Z(7)+18*Z(8)-2*Z(9),
X(126) = -Z(3)-Z(18)-Z(25)-Z(33)+5*Z(35),
X(127) = 2*Z(4)-2*Z(7)-2*Z(10)+2*Z(19)-4*Z(20)-2*Z(21)-4*Z(22)-3*Z(23)-2*Z(24)+2*Z(28)+2*Z(34)-2*Z(36)-2*Z(37),
X(128) = -Z(4)-Z(19)-Z(28)-Z(34)+5*Z(35),
X(13) = Z(3)-3*Z(4)-3*Z(5)-Z(6)+2*Z(7)-3*Z(8)+2*Z(10)+4*Z(18)-2*Z(19)+2*Z(20)+2*Z(21)+Z(22)+Z(23)+Z(24)+4*Z(25)-3*Z(28)+2*Z(33)-2*Z(34)-13*Z(35)+2*Z(36)-Z(37),
X(130)= -Z(3)+4*Z(4)+3*Z(5)-Z(7)+3*Z(8)-Z(10)-3*Z(18)+2*Z(19)-2*Z(20)-Z(21)-4*Z(25)+4*Z(28)-Z(33)+3*Z(34)+11*Z(35)-Z(36)+2*Z(37),
X(131) = 2*Z(3)+2*Z(7)+2*Z(10)+2*Z(18)+2*Z(20)+Z(21)+2*Z(22)+2*Z(23)+2*Z(24)+2*Z(25)+2*Z(33)-8*Z(35)+2*Z(36)+2*Z(37),
X(133) = Z(3)-3*Z(4)-3*Z(5)-3*Z(8)+2*Z(18)-2*Z(19)-2*Z(22)-Z(23)-Z(24)+4*Z(25)-3*Z(28)+Z(33)-2*Z(34)-8*Z(35)-3*Z(37),
X(135) = 2*Z(3)-2*Z(4)+4*Z(7)+4*Z(10)+4*Z(18)+4*Z(20)+4*Z(21)+4*Z(22)+3*Z(23)+4*Z(24)+2*Z(25)-2*Z(28)+3*Z(33)-Z(34)-5*Z(35)+Z(36)+4*Z(37),
X(138) = -2*Z(3)-8*Z(4)-6*Z(5)-4*Z(7)-6*Z(8)-4*Z(10)+2*Z(18)-6*Z(19)+2*Z(20)-Z(21)-4*Z(22)-4*Z(23)-5*Z(24)+4*Z(25)-8*Z(28)-3*Z(33)-7*Z(34)-8*Z(35)-Z(36)-10*Z(37),
X(140) = Z(1),
X(142) = 12*Z(2)-20*Z(3)-14*Z(1)+28*Z(14)+14*Z(15)+14*Z(16)+14*Z(17)-96*Z(18)+48*Z(19)-28*Z(20)-26*Z(21)+42*Z(22)+18*Z(23)+18*Z(24)-126*Z(25)+14*Z(26)+13*Z(27)+92*Z(28)+10*Z(29)+Z(30)+13*Z(31)+Z(32)-36*Z(33)+62*Z(34)+249*Z(35)-12*Z(36)+78*Z(37)-12*Z(10)+8*Z(11)-2*Z(12)-10*Z(13)+88*Z(4)+86*Z(5)+16*Z(6)-12*Z(7)+90*Z(8)-10*Z(9),
X(15) = -2*Z(2)+2*Z(3)+3*Z(1)-6*Z(14)-2*Z(15)-3*Z(16)-4*Z(17)+14*Z(18)-8*Z(19)+2*Z(20)+2*Z(21)-10*Z(22)-6*Z(23)-6*Z(24)+20*Z(25)-3*Z(26)-3*Z(27)-14*Z(28)-2*Z(29)-2*Z(31)-Z(32)+4*Z(33)-10*Z(34)-29*Z(35)-16*Z(37)-Z(10)-2*Z(11)-14*Z(4)-14*Z(5)-2*Z(6)-Z(7)-15*Z(8)+2*Z(9),
X(161) = Z(2),
X(162) = -2*Z(2)+5*Z(3)+3*Z(1)-6*Z(14)-4*Z(15)-3*Z(16)-2*Z(17)+23*Z(18)-11*Z(19)+6*Z(20)+6*Z(21)-10*Z(22)-4*Z(23)-4*Z(24)+30*Z(25)-3*Z(26)-3*Z(27)-21*Z(28)-2*Z(29)-Z(30)-2*Z(31)+9*Z(33)-14*Z(34)-60*Z(35)+3*Z(36)-18*Z(37)+3*Z(10)-2*Z(11)+2*Z(13)-20*Z(4)-20*Z(5)-4*Z(6)+3*Z(7)-21*Z(8)+Z(9),
X(163) = 8*Z(2)-20*Z(3)-12*Z(1)+24*Z(14)+12*Z(15)+12*Z(16)+12*Z(17)-86*Z(18)+42*Z(19)-26*Z(20)-24*Z(21)+36*Z(22)+14*Z(23)+14*Z(24)-112*Z(25)+12*Z(26)+12*Z(27)+80*Z(28)+8*Z(29)+Z(30)+10*Z(31)+Z(32)-34*Z(33)+54*Z(34)+224*Z(35)-12*Z(36)+66*Z(37)-12*Z(10)+8*Z(11)-Z(12)-8*Z(13)+78*Z(4)+76*Z(5)+14*Z(6)-12*Z(7)+78*Z(8)-8*Z(9),
X(164) = -2*Z(2)+5*Z(3)+3*Z(1)-6*Z(14)-2*Z(15)-3*Z(16)-4*Z(17)+20*Z(18)-10*Z(19)+7*Z(20)+6*Z(21)-8*Z(22)-3*Z(23)-3*Z(24)+26*Z(25)-3*Z(26)-3*Z(27)-19*Z(28)-2*Z(29)-2*Z(31)-Z(32)+8*Z(33)-13*Z(34)-47*Z(35)+3*Z(36)-15*Z(37)+3*Z(10)-2*Z(11)+Z(13)-19*Z(4)-18*Z(5)-3*Z(6)+3*Z(7)-18*Z(8)+2*Z(9),
X(166) = Z(3),
X(167) = 2*Z(2)-4*Z(3)-3*Z(1)+6*Z(14)+4*Z(15)+3*Z(16)+2*Z(17)-20*Z(18)+10*Z(19)-4*Z(20)-4*Z(21)+12*Z(22)+6*Z(23)+6*Z(24)-28*Z(25)+3*Z(26)+3*Z(27)+20*Z(28)+2*Z(29)+Z(30)+2*Z(31)-7*Z(33)+13*Z(34)+57*Z(35)-2*Z(36)+20*Z(37)-Z(10)+2*Z(11)-2*Z(13)+18*Z(4)+20*Z(5)+4*Z(6)-Z(7)+21*Z(8),
X(168) = Z(4),
X(170) = Z(5),
X(171) = 2*Z(2)-5*Z(3)-3*Z(1)+6*Z(14)+3*Z(15)+3*Z(16)+3*Z(17)-20*Z(18)+9*Z(19)-6*Z(20)-6*Z(21)+8*Z(22)+3*Z(23)+3*Z(24)-26*Z(25)+3*Z(26)+3*Z(27)+18*Z(28)+2*Z(29)+3*Z(31)-8*Z(33)+12*Z(34)+58*Z(35)-3*Z(36)+15*Z(37)-3*Z(10)+2*Z(11)-Z(12)-3*Z(13)+17*Z(4)+17*Z(5)+3*Z(6)-3*Z(7)+18*Z(8)-3*Z(9),
X(173) = Z(6),
X(175) = 2*Z(2)-4*Z(3)-3*Z(1)+6*Z(14)+2*Z(15)+3*Z(16)+4*Z(17)-18*Z(18)+8*Z(19)-6*Z(20)-6*Z(21)+6*Z(22)+2*Z(23)+2*Z(24)-22*Z(25)+3*Z(26)+3*Z(27)+16*Z(28)+2*Z(29)+2*Z(31)+Z(32)-7*Z(33)+11*Z(34)+39*Z(35)-2*Z(36)+12*Z(37)-3*Z(10)+2*Z(11)+16*Z(4)+14*Z(5)+2*Z(6)-3*Z(7)+15*Z(8)-2*Z(9),
X(178) = 6*Z(4)+4*Z(5)+Z(7)+4*Z(8)+2*Z(10)-2*Z(18)+4*Z(19)-2*Z(20)+2*Z(22)+2*Z(23)+2*Z(24)-4*Z(25)+6*Z(28)+Z(33)+5*Z(34)+12*Z(35)+6*Z(37),
X(18) = Z(7),
X(180) = Z(8),
X(182) = -6*Z(2)+11*Z(3)+9*Z(1)-18*Z(14)-9*Z(15)-9*Z(16)-9*Z(17)+56*Z(18)-29*Z(19)+18*Z(20)+16*Z(21)-24*Z(22)-11*Z(23)-11*Z(24)+74*Z(25)-9*Z(26)-9*Z(27)-56*Z(28)-6*Z(29)-Z(30)-7*Z(31)-Z(32)+20*Z(33)-38*Z(34)-139*Z(35)+7*Z(36)-47*Z(37)+7*Z(10)-5*Z(11)+Z(12)+5*Z(13)-53*Z(4)-51*Z(5)-9*Z(6)+7*Z(7)-54*Z(8)+5*Z(9),
X(2) = Z(9),
X(20) = Z(10),
X(22) = Z(11),
X(3) = Z(12),
X(4) = Z(13),
X(41) = Z(14),
X(42) = Z(15),
X(43) = Z(16),
X(44) = Z(17),
X(46) = Z(18),
X(47) = -4*Z(3)-4*Z(7)-4*Z(10)-6*Z(18)-2*Z(19)-2*Z(20)-4*Z(21)-2*Z(22)-3*Z(23)-4*Z(24)-4*Z(25)-5*Z(33)-Z(34)+19*Z(35)-Z(36)-4*Z(37),
X(48) = Z(19),
X(50) = Z(20),
X(51) = Z(21),
X(53) = Z(22),
X(55) = Z(23),
X(58) = Z(24),
X(6) = Z(25),
X(60) = Z(26),
X(62) = Z(27),
X(7) = -2*Z(2)+6*Z(3)+3*Z(1)-6*Z(14)-4*Z(15)-3*Z(16)-2*Z(17)+24*Z(18)-10*Z(19)+8*Z(20)+8*Z(21)-8*Z(22)-2*Z(23)-2*Z(24)+30*Z(25)-3*Z(26)-3*Z(27)-22*Z(28)-2*Z(29)-Z(30)-2*Z(31)+10*Z(33)-14*Z(34)-63*Z(35)+4*Z(36)-16*Z(37)+5*Z(10)-2*Z(11)+2*Z(13)-20*Z(4)-20*Z(5)-4*Z(6)+5*Z(7)-21*Z(8),
X(8) = Z(28),
X(81) = Z(29),
X(82) = Z(30),
X(83) = Z(31),
X(84) = Z(32),
X(86) = Z(33),
X(87) = 2*Z(3)+2*Z(7)+2*Z(10)+2*Z(18)+2*Z(20)+2*Z(21)+2*Z(22)+2*Z(23)+2*Z(24)+2*Z(25)+2*Z(33)-8*Z(35)+Z(36)+2*Z(37),
X(88) = Z(34),
X(90) = -6*Z(4)-6*Z(5)-6*Z(8)+4*Z(18)-4*Z(19)-2*Z(22)-2*Z(23)-2*Z(24)+6*Z(25)-6*Z(28)-5*Z(34)-12*Z(35)-6*Z(37),
X(91) = Z(35),
X(93) = -2*Z(3)+6*Z(4)+6*Z(5)-2*Z(7)+6*Z(8)-2*Z(10)-6*Z(18)+4*Z(19)-2*Z(20)-2*Z(21)-8*Z(25)+6*Z(28)-3*Z(33)+4*Z(34)+26*Z(35)-2*Z(36)+4*Z(37),
X(95) = Z(36),
X(98) = 2*Z(3)+2*Z(4)+2*Z(5)+2*Z(7)+2*Z(8)+2*Z(10)+2*Z(19)+Z(21)+2*Z(22)+2*Z(23)+2*Z(24)+2*Z(28)+2*Z(33)+2*Z(34)+Z(35)+Z(36)+4*Z(37),
S = 5*Z(35)

Как я уже отмечала, формула получилась громоздкая. Однако использование переменных двух уровней позволило мне резко сократить количество свободных переменных, их всего 37, это параметры $Z(i)$.
Здесь есть один осбенный параметр - $Z(37)$; особенность его в том, что он не задаётся ни через какой элемент куба в явном виде. Я вычисляю его по значению элемента куба $X(1)$.

[В теме "Магические квадраты" обсуждали с svb подобный параметр в общей формуле для идеального квадрата 8-го порядка.]

Итак, теперь я задаю значения свободных переменных на основе приведённого выше образца, составленного из различных натуральных чисел. Но значения я задаю являющиеся простыми числами (близкие по значению к элементам образца).
Вот выбранные мной значения для свободных переменных:

Z(1) = 10853
Z(10) = 10957
Z(11) = 10883
Z(12) = 10909
Z(13) = 10949
Z(14) = 10937
Z(15) = 10711
Z(16) = 10891
Z(17) = 10847
Z(18) = 10889
Z(19) = 10867
Z(2) = 10973
Z(20) = 10861
Z(21) = 10859
Z(22) = 10853
Z(23) = 10979
Z(24) = 10939
Z(25) = 10837
Z(26) = 10831
Z(27) = 10799
Z(28) = 10789
Z(29) = 10781
Z(3) = 10771
Z(30) = 10753
Z(31) = 10739
Z(32) = 10733
Z(33) = 10729
Z(34) = 10723
Z(35) = 10903
Z(36) = 10709
Z(4) = 10691
Z(5) = 10687
Z(6) = 10667
Z(7) = 10663
Z(8) = 10657
Z(9) = 10651

Ещё осталось задать параметр $Z(37)$, его вычислила по заданному элементу куба $X(1)$:

$X(1)= 11519$, $Z(37)=-75467$

[Не уследила, две свободные переменные задала одинаковые: $Z(1)$ и $Z(22)$. Но это пока неважно, сейчас я просто ищу новый образец куба.]

Всё готово, чтобы применить формулу, то есть по заданным свободным переменным найти решение.
Вот это решение:

11519* 10651* 10909* 10949* 10487 
10957* 10837* 10663* 11563 10495 
10883* 12035 10251 9399 11947 
9731 10789* 11495 11411 11089 
11425 10203 11197 11193 10497 

10937* 10711* 10891* 10847* 11129 
10831* 10889* 10939* 10861* 10995 
10799* 10411 10859* 10979* 11467 
11149 10867* 11699 10853* 9947 
10799 11637 10127 10975 10977 

10781* 10753* 10739* 10733* 11509 
11217 10729* 11213 10975 10381 
10115 11225 10903* 10709* 11563 
11997 10723* 10721 11057 10017 
10405 11085 10939 11041 11045 

10305 11469 11587 10655 10499 
10853* 11289 10327 10429 11617 
11059 9027 11075 13067 10287 
11231 11445 10519 10527 10793 
11067 11285 11007 9837 11319 

10973* 10931 10389 11331 10891 
10657* 10771* 11373 10687* 11027 
11659 11817 11427 10361 9251 
10407 10691* 10081 10667* 12669 
10819 10305 11245 11469 10677

$S=54515$

Звёздочкой помечены свободные элементы.
[Вы можете проверить получение этого решения по приведённой формуле.]

Образец куба получен.
Что теперь? Теперь надо зафиксировать несколько свободных переменных (по желанию), а для остальных выполнить перебор.
При выборе свободных элементов для фиксирования надо руководствоваться инструкцией:

а) обязательно зафиксировать элементы $X(1)$ и $X(91)$; первый по той причине, что на него завязан параметр $Z(37)$, а второй по той причине, что это центральный элемент куба и в данном примере мы его изменять не будем;
б) не фиксировать одновременно свободные переменные $Z(1)$ и $Z(22)$, потому что они имеют одинаковое значение (это просто моя оплошность; их можно задать разные и получить по формуле другой образец).

Вот такой предлагается алгоритм для поиска совершенного куба 5-го порядка из различных простых чисел.