Перейти к полярным координатам

[Shtorm]

Gdasar в сообщении #894423 писал(а):

Someone,это да,но я думал нужно найти $\varphi$ в радианах(через $\pi$).

Не обязательно. Пусть будет арктангенс. Таким образом две штуки углов у Вас есть: от одного до другого. Изменение полярного радиуса тоже есть от нуля до верхней прямой, которую Вы выразили полярным уравнением. Осталось только всё подставить.

[Munin]

Значит, придётся с рисунком.

Нарисуйте координатную плоскость. Обозначьте её оси $r$ и $\varphi.$ Отрежьте её ножницами по линии $r=0,$ чтобы получилась полуплоскость. Нарисуйте на этой полуплоскости линии, которые соответствуют вашим уравнениям

Gdasar в сообщении #894344 писал(а):

$r\sin\varphi = 2r\cos\varphi$
$r\sin\varphi = 2-r\cos\varphi$
$r\cos\varphi=0$

Закрасьте между этими линиями область интегрирования. Запишите её через пределы повторного интеграла.

И не забудьте, что под интегралом должно стоять не просто $dr,$ а $r\,dr.$

[Gdasar]

$x_1 = 0$
$\varphi = \frac \pi 2$
$r = 0$

$y_1 = 2x$
$\varphi =\arctg2$
$r = 0$


$x_2 = \frac 2 3$
$r = \frac 2 {3\cos\varphi}$

$y_2 = 2 -x$
$r = \frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}$

$\int_{\arctg2}^{\frac \pi 2}d\varphi(\int_0^{\frac 2{3\cos\varphi}}rf(r\cos\varphi;r\sin\varphi)dr + \int_0^{\frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}}rf(r\cos\varphi;r\sin\varphi)dr)$
Вот что получается

[Shtorm]

Gdasar, нет смысла разбивать на сумму двух интегралов и соответственно верхний предел по $r$ будет только один - соответствующий самой верхней прямой.

[Munin]

Рисунок-то нарисовали?

Разве среди трёх линий, ограничивающих область интегрирования, есть линия $x=\tfrac{2}{3}$?

[Gdasar]

$x_1= 0$
$\varphi = \frac \pi 2$
$r = 0$

$y_1= 2x$
$\varphi =\arctg2$
$r = 0$

$y_2 = 2 -x$
$r = \frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}$

$\int_{\arctg2}^{\frac \pi 2}d\varphi+ \int_0^{\frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}}rf(r\cos\varphi;r\sin\varphi)dr$

Я так понимаю, что я должен был просто выразить два любых угла, а так же выразить r из уравнений прямых,ограничивающих область?

[Munin]

Gdasar в сообщении #894860 писал(а):

Я так понимаю, что я должен был просто выразить два любых угла, а так же выразить r из уравнений прямых,ограничивающих область?

При такой области, как вам дана - да.

Gdasar в сообщении #894860 писал(а):

$\int_{\arctg2}^{\frac \pi 2}d\varphi+ \int_0^{\frac 2 {\sin\varphi + \cos\varphi}}rf(r\cos\varphi;r\sin\varphi)dr$

Ну всё не слава богу! Ну вот чего у вас тут делает знак $+$ посреди формулы? :-)

[Gdasar]

Munin в сообщении #894872 писал(а):

Ну всё не слава богу! Ну вот чего у вас тут делает знак $+$ посреди формулы?

Ой
Огромное спасибо за помощь.

[Munin]

Если этот знак стереть, то получится правильный окончательный ответ.

[Gdasar]

Munin да да,я понял.

[Munin]

Если поняли, то продемонстрируйте это: проделайте упражнение post894358.html#p894358 (конец сообщения).