Плотность условного распределения

[k-for]

На $[a,b]$ задана ограниченная плотность распределения $g(x);\ обозначим $c=\max\limits_{x \in [a,b]}g(x).$
Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и равномерно распределены на $[a,b]$ и $[0,c]$ соответственно.
Доказать: $\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(x)\right\}=\int\limits_a^bg(x)dx.$
Расписал плотность вероятности, обозначив $g(x)=y,$ пользуясь формулой интегрирования по частям и учитывая, что плотность равномерного распределения постоянна на $[0,c]:$

$$\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(x)\right\}= \frac {\Prob\left\{\xi \le x,\,\eta \le g(x)\right\}} {\Prob\left\{\eta \le g(x)\right\}}= \frac {\int\limits_a^b\int\limits_0^{g(x)} f_{\xi ,\,\eta}(x,y)dydx} {\int\limits_0^{g(x)} f_{\eta}(y)dy}=$$

$$=\frac {\int\limits_a^b \Big\left\{g(x)f_{\xi ,\,\eta}[x,g(x)]-\int\limits_0^{g(x)}ydf_{\xi ,\,\eta}(x,y)\Big\right\}dx} {\int\limits_0^c \frac 1 c dy}=\int\limits_a^b\left\{g(x)\frac 1 {b-a}-0\right\}dx=\frac 1 {b-a}\int\limits_a^bg(x)dx.$$

Где в моих выкладках ошибка?

[ShMaxG]

Во-первых,

k-for в сообщении #893810 писал(а):

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы

Поэтому в искомой вероятности можно смело убирать условие, получив при этом функцию распределения $\xi$. Которая не зависит от $g(x)$.

Во-вторых, странно, что ответ не зависит от $x$, но по идее должен.

И более того, в-третьих. Правая часть в доказываемом утверждении равна 1, раз $g(x)$ -- плотность на интервале $[a,b]$.

[k-for]

Цитата:

Поэтому в искомой вероятности можно смело убирать условие, получив при этом функцию распределения $\xi$. Которая не зависит от $g(x)$.

Имеется в виду $\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(x)\right\}=\Prob\left\{\xi \le x\right\}=\int\limits_a^b\frac 1 {b-a}dx=1$ ?

[Otta]

Я думаю, Вам стоит уточнить условие задачи. Концы с концами не сходятся.

[k-for]

Увы, не имею пока такой возможности. Можете сказать, чему равна $\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(x)\right\}$ исходя из условий?

[Otta]

Ну Вы же видите, функции равномерного на $[a.b]$ распределения.

[ShMaxG]

k-for в сообщении #893820 писал(а):

$\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(x)\right\}=\Prob\left\{\xi \le x\right\}=\int\limits_a^b\frac 1 {b-a}dx=1$

Второе равенство неверно, посмотрите в учебнике функцию распределения равномерного непрерывного распределения.

k-for в сообщении #893830 писал(а):

Можете сказать, чему равна $\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(x)\right\}$ исходя из условий?

Вот как посмотрите, так и выясните.

[k-for]

Посмотрел. Если считать $\xi$ и $\eta$ зависимыми, получается:

$$\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(x)\right\}= \frac {\Prob\left\{\xi \le x,\,\eta \le g(x)\right\}} {\Prob\left\{\eta \le g(x)\right\}}= \frac {\int\limits_a^x\int\limits_0^{g(s)} f_{\xi ,\,\eta}(t,s)dtds} {\int\limits_0^{g(x)} f_{\eta}(t)dt}=$$

$$=\frac {\int\limits_a^x \left\Big\{g(s)f_{\xi ,\,\eta}[g(s),s]-\int\limits_0^{g(s)}td[f_{\xi ,\,\eta}(t,s)]\right\Big\}ds} {\int\limits_0^{g(x)} \frac 1 c dy}=\frac {\int\limits_a^x\left\{g(s)\frac 1 {b-a}\frac 1 c -0\right\}ds} {\frac {g(x)} c}=\frac 1 {(b-a)g(x)} \int\limits_0^xg(s)ds$$

Просьба указать на ошибки в выкладках, если такие обнаружены.

[ShMaxG]

k-for в сообщении #893934 писал(а):

Если считать $\xi$ и $\eta$ зависимыми

А если считать зависимыми, то необходимо знать как именно они зависимы, т.е. знать их совместную функцию распределения или совместную плотность распределения $f_{\xi,\eta}$. Вы же в выкладках почему-то считаете, что она равна произведению плотностей $\xi$ и $\eta$, но это же означает, что вы считаете их независимыми.

[k-for]

Ок. Считаем их независимыми, но рассматриваем по общей формуле условного распределения. Вопрос тот же: верны ли выкладки, и если нет, то в каком месте ошибка?

[ShMaxG]

Хорошо, пусть будут независимые. Почему в числителе интегрируете до какого-то $g(s)$? По первой переменной вы интегрируете до $x$, это верно. Но и по второй надо до $g(x)$. У нас $x$ вообще фиксирована.

[k-for]

Пардон, там не $\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(x)\right\}$, а $\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(\xi)\right\}$. Что это меняет?

[ShMaxG]

А, ну совсем другое дело! Тогда следует в числителе писать не $f_{\xi,\eta}(t,s)$, а $f_{\xi,\eta}(s,t)$. В знаменателе должно стоять то же, что и в числителе (тоже двойной интеграл), но первый интеграл должен быть от $a$ до $b$, а не от $a$ до $x$. И еще, интеграл по частям можно не брать. С учетом моих замечаний, доведите до ответа.

[k-for]

$$\Prob\left\{\xi \le x\,|\,\eta \le g(\xi)\right\}= \frac {\Prob\left\{\xi \le x,\,\eta \le g(\xi)\right\}} {\Prob\left\{\eta \le g(\xi)\right\}}= \frac {\int\limits_a^x\int\limits_0^{g(s)} f_{\xi ,\,\eta}(s,t)dtds} {\int\limits_a^b\int\limits_0^{g(s)} f_{\eta}(t)dtds}=\frac {\int\limits_a^x g(s) \frac 1 {b-a} \frac 1 c ds} {\int\limits_a^b g(s) \frac 1 {b-a} \frac 1 c ds}=\frac {\int\limits_0^xg(s)ds} 1$$

[ShMaxG]

В знаменателе не $f_{\eta}(t)$, а $f_{\xi,\eta}(s,t)$. И в последнем выражении интеграл от $a$, а не от нуля. Все понятно?