Условное распределение

[k-for]

Заданы P(\xi=k)= P(\eta=k)=pq^{k-1}, k = 1,2,..., при этом случайные величины \xi и \eta независимы. Требуется найти P(\xi = k | \xi < \eta).
По определению P(\xi = k | \xi < \eta) =\frac{ P(\xi = k, \xi < \eta) }{ P(\xi < \eta)}. В каком направлении действовать дальше? Где воспользоваться независимостью случайных величин? Каким образом можно выразить знаменатель?

[Henrylee]

Записываем например знаменатель таким образом

$$ \Prob\left\{\xi<\eta\right\}=\sum\limits_{k=1}^\infty\Prob\left\{ \xi=k,\xi<\eta\right\} $$

Предполагаю, что числитель посчитать сумеете. Остаётся этим и заняться.

[k-for]

Спасибо за наводку. Числитель расписал как сумму геомпрогрессии, в итоге получил:

$$\Prob\left\{\xi=k\,|\,\xi<\eta\right\}=\frac q {q+1}.$$

[Henrylee]

А Вам не странно, что ответ от $k$ не зависит? Напишите, как считали.

[k-for]

Пардон, опечатался/не дописал. $\Prob\left\{\xi<\eta\right\}=\frac q {q+1},\;\Prob\left\{\xi=k\,|\,\xi<\eta\right\}=p(q+1)q^{2(k-1)}$ — это правильно?

[ShMaxG]

k-for
Да, у меня получился такой же ответ.

-- Ср авг 06, 2014 17:48:26 --

Интересно получается. В ответе, фактически, стоит распределение случайной величины с отрицательным биномиальным распределением $\mathrm{NB}(1,q^2)$, а в условии задачи -- $\mathrm{NB}(1,q)$.