Вероятность скачка случайного процесса на малом интервале

[R_e_n]

Здравствуйте, у меня такой вопрос:
Описание пуассоновского процесса начинается с введения двух постулатов (из учебника Карлина "Теория случайных процессов"):
1. Вероятность того, что за период времени продолжительности $h$ произойдет по меньшей мере одно событие , есть:
$p(h)=\lambda \at h+o(h)$, $h \to 0$, $\lambda>0$
2. Вероятность того, что за время $h$ произойдет два или более события, есть $o(h)$.

Откуда следует, что:
$P(\pi_{t+h}-\pi_{t}=1)=\lambda \at h$ при $h \to 0$

Пусть случайный процесс допускает представление в виде:
$X_t=X_0+\int_{0}^{t}{a(s,X_s)ds}+m_t$
где $a(s,X_s)$ - непрерывная функция и ограниченная функция на конечном интервале, $m_t$ - мартингал; $X_0$ - действительное число.

Верно ли следующее?
$P(X_{t+h}-X_{t}=1)=\int_{t}^{t+h}a(s,X_s)ds+o(h)$, при $h \to 0$.

[R_e_n]

Может быть посоветуете литературу, где доступным языком про это можно посмотреть.
Или скажите ошибки в записи, на случай если я что-то не правильно определил.

[Henrylee]

Как связаны $X_t$ и упомянутsй выше пуассоновский процесс?

R_e_n в сообщении #893406 писал(а):

Верно ли следующее?
$P(X_{t+h}-X_{t}=1)=\int_{t}^{t+h}a(s,X_s)ds+o(h)$, при $h \to 0$.

Как это возможно, если слева число (точнее детерминированая функция), а справа случайная величина?

[R_e_n]

Спасибо, что откликнулись. Попробую объяснить как я до такого докатился.

Henrylee в сообщении #896675 писал(а):

Как связаны $X_t$ и упомянутsй выше пуассоновский процесс?

Вероятность скачка на малом интервале h для пуассоновского процесса равна: $\lambda \at h$ (в учебнике, например, Карлина вводится аксиоматически).
В то же время пуассоновский процесс допускает представление в виде:
$\pi_{t}=\int_{0}^{t} \lambda ds + m_{t}$
(для однородного пуассоновского процесса можно посмотреть здесь в учебнике Липцера, Ширяева Теория мартингалов http://bookre.org/reader?file=560699&pg=38 пример 1). (Для неоднородного я вроде бы тоже, где похожее видел, сейчас уже не помню где. Если что могу поискать).

Тогда у меня возникло два предположения:
для любого скачкообразного процесса допускающего представление в виде непрерывной части и мартингала верно:
либо вероятность скачка на интервале [t,t+h] равна интегралу по этому интервалу (что я и написал)
либо вероятность скачка на интервале [t,t+h] равна подынтегральной функции в начальный момент времени умноженной на длину интервала.
(если эту вероятность поделить на h и взять предел, то способы совпадут).

Henrylee в сообщении #896675 писал(а):

Верно ли следующее?
$P(X_{t+h}-X_{t}=1)=\int_{t}^{t+h}a(s,X_s)ds+o(h)$, при $h \to 0$.
Как это возможно, если слева число (точнее детерминированая функция), а справа случайная величина?

Да, тут надо писать вероятность скачка при условии известных значений в предыдущие моменты времени. Вроде бы это можно назвать при условии сигма-алгебры. Но в этом я не уверен.