Нахождение частного решения нелинейного НДУ

[StaticZero]

Имеется уравнение
$m\dot{v} = C - kv^2$
с начальным условием
$v(0) = v_0\cos{\alpha}$

Решаем однородное уравнение:
$m\dfrac{dv}{dt} = -kv^2$

$\dfrac{dv}{v^2} = -\dfrac{k}{m}$

$-\dfrac{1}{v} = -\dfrac{kt}{m} - \operatorname{const}$


$\dfrac{1}{v} = \dfrac{kt}{m} + \operatorname{const}$

$\operatorname{const} = \dfrac{1}{v_0\cos{\alpha}}$

$v(t) = \dfrac{mv_0\cos{\alpha}}{ktv_0\cos{\alpha} + m}$

А как найти частное решение ННДУ?

[Otta]

А что Вам мешало точно так же сразу решать исходное?

[StaticZero]

Otta в сообщении #893172 писал(а):

А что Вам мешало точно так же сразу решать исходное?

Переменные не делятся. С ННДУ я не имел практики решения, если в них не разделяются переменные.

[Otta]

То есть? У Вас что, $C$ от $t$ зависит?

[StaticZero]

Otta в сообщении #893175 писал(а):

То есть? У Вас что, $C$ от $t$ зависит?

Нет, $C = \operatorname{const}$

[Otta]

Мне нечего добавить. Решайте.

[Ms-dos4]

StaticZero
Не отделяются? А это тогда что? $\[\frac{{dv}}{{C - k{v^2}}} = \frac{1}{m}dt\]$

[StaticZero]

Ms-dos4 в сообщении #893182 писал(а):

Не отделяются? А это тогда что? $\[\frac{{dv}}{{C - k{v^2}}} = \frac{1}{m}dt\]$

Ну ладно. Я этого не заметил. Благодарю.

-- 04.08.2014, 00:43 --

Получил решение:

$v = \sqrt{\dfrac{mg}{k}} \th{\left(\sqrt{kmg}\left(\dfrac{t}{m} + \dfrac{\operatorname{Arth}{\left(\sqrt{\dfrac{k}{mg}}v_0\sin{\alpha}}\right)}{\sqrt{kmg}\right)\right)}}$

-- 04.08.2014, 00:47 --

А если бы $C = C(t)$, то что нужно было бы предпринять для нахождения решения?

Add: $C = mg$

[cool.phenon]

То, чем вы пользовались, называется методом вариации произвольных постоянных. Он применяется в случае линейных ДУ. Данное ДУ нелинейное

[StaticZero]

cool.phenon в сообщении #893204 писал(а):

То, чем вы пользовались

Я только интегрировал.
А с нелинейными ДУ как быть?

[cool.phenon]

В общем случае так поступают с линейным неоднородным уравнением. В первой строчке было $C$, а в следующей уже его нет. Это значит, что избавляются от неоднородности, а это и есть первый шаг метода вариации.
Данное уравнение, как было сказано раньше, интегрируется и без всяких методов. В общем случае нелинейное уравнение не интегрируется в лоб, и не имеет значения, однородное оно или нет. И данным методом лучше не пользуйтесь, когда уравнение нелинейное.