Заговор в квантовой Механике :)

[Munin]

Свойства фотона определяют характеристики множества оптических приборов (лазеры, нелинейная оптика).

[Zmey_Petrov]

Munin в сообщении #892335 писал(а):

Свойства фотона определяют характеристики множества оптических приборов (лазеры, нелинейная оптика).

А можно ли в этом убедиться мне, простому чайнику, в случае лазерного излучения?
Вот я направляю указку на забор в 50м. А лучик расходится на 1-2 см.
Что-то подсказывает, что "волновой пакет" "расползается", чисто по классике.
А как вы говорите - он не должен "расползаться" потому что электрон и фотон отличаются только массой покоя.
А электрон вроде так не расходится - куда летит - туда и летит. Нет ли в этом между ними принципиальной разницы?

[Munin]

Zmey_Petrov в сообщении #892344 писал(а):

Что-то подсказывает, что "волновой пакет" "расползается", чисто по классике.
А как вы говорите - он не должен "расползаться" потому что электрон и фотон отличаются только массой покоя.

Как это, не должен расползаться??? Я такого не говорил.

Zmey_Petrov в сообщении #892344 писал(а):

А электрон вроде так не расходится - куда летит - туда и летит.

Как раз электрон - очень сильно расползается. Хуже, чем фотон.

[Zmey_Petrov]

Munin в сообщении #892347 писал(а):

Как раз электрон - очень сильно расползается. Хуже, чем фотон.

А протон еще хуже(сильнее) расползается, чем электрон? Тогда и ядро U-238(к примеру) расползется еще сильнее...
Чего-то тут не сходится...

[Munin]

Zmey_Petrov в сообщении #892367 писал(а):

А протон еще хуже(сильнее) расползается, чем электрон?

Нет, протон лучше.

Zmey_Petrov в сообщении #892367 писал(а):

Чего-то тут не сходится...

Дело в том, что протон и электрон - частицы нерелятивистские, а фотон - всегда релятивистский, он не бывает при малых скоростях. Если взять ультрарелятивистские протон и электрон, то они будут расползаться в той же степени, что и фотон.

Скорость расползания волнового пакета пропорциональна $\partial^2\omega/\partial k^2.$ Для массивных частиц, таких как протон и электрон,

$$\omega^2=k^2+m^2,\qquad\dfrac{\partial^2\omega}{\partial k_{\parallel}^2}=\dfrac{m^2}{(k^2+m^2)^{3/2}},$$

и около нуля $\sim m^{-1}.$ Для безмассовых частиц, таких как фотон,

$$\omega^2=k^2,\qquad\dfrac{\partial^2\omega}{\partial k_{\parallel}^2}=0.$$

В ультрарелятивистской области протон и электрон имеют, как и фотон, $\sim (k/m)^{-3}\to 0$ (при равных скоростях отношение скорости расползания для частиц с разной массой тоже $\sim m^{-1}$). Скорость расползания в поперечном направлении для массивных частиц

$$\dfrac{\partial^2\omega}{\partial k_{\perp}^2}=\dfrac{k_{\parallel}^2+m^2}{(k^2+m^2)^{3/2}},$$

и около нуля опять-таки $\sim m^{-1}.$ Для безмассовых частиц

$$\dfrac{\partial^2\omega}{\partial k_{\perp}^2}=\dfrac{k_{\parallel}^2}{k^3},$$

что даёт, подобно массивным частицам около нуля, $\sim k_{\parallel}^{-1}.$ Ультрарелятивистские массивные частицы при $k_{\perp}\ll k_{\parallel}$ имеют $\sim k_{\parallel}^{-2/3},$ а при $k_{\perp}=O(k_{\parallel})$ - соответственно, $\sim k_{\parallel}^{-1},$ как и безмассовые.

Теперь всё сходится?

[Touol]

Munin в сообщении #890132 писал(а):

Всякая точечная частица на уровне квантовой механики есть волновой пакет в пространстве-времени. Это не мешает ей быть точечной частицей. Понятие "точечная частица" при этом несёт другой смысл.

Хочу уточнить. В КМ под "точечностью" частицы понимают "точечность" коммутатора операторов рождения уничтожения?
$ \left[ \psi(x), \psi^{\dag}(x') \right] = \delta (x - x')$

[Munin]

Нет, имеет смысл говорить о точечности только для взаимодействия. Вот если взаимодействие построено из операторов рождения/уничтожения в одной точке, то частицы точечные.

[Touol]

Munin в сообщении #894570 писал(а):

Нет, имеет смысл говорить о точечности только для взаимодействия. Вот если взаимодействие построено из операторов рождения/уничтожения в одной точке, то частицы точечные.

Хотелось бы поразжеваннее :(. Смутно понятно. есть хорошая ссылка?

[Munin]

Ну вот смотрите, возьмём лагранжиан $\mathcal{L}=\ldots-e\bar{\psi}A_\mu\gamma^\mu\psi.$ Этот член взаимодействия, если посмотреть внимательно, включает в себя величины $\bar{\psi}(x,y,z,t),\psi(x,y,z,t)$ и $A_\mu(x,y,z,t),$ взятые все в одной и той же точке пространства-времени. Эти величины конструируются из операторов рождения-уничтожения в этой точке (собственно, здесь - и являются этими операторами). Тогда получается, что электрон излучает фотон в той же точке, в которой сам находится.

Можно представить себе теорию "толстого" электрона, представляющего собой шарик с распределением заряда $\rho(r).$ Тогда координаты электрона указывают положение его центра, но заряд есть и на ненулевом расстоянии от центра, и фотон может излучиться любым участком электрона "сбоку" от центра. Тогда $A_\mu$ будет взят в другой точке, $A_\mu(x',y',z',t'),$ не совпадающей с положением электрона. Распределение заряда $\rho(r)$ войдёт в член взаимодействия, оно называется форм-фактор частицы (часто форм-фактором называют фурье-преобразование $\rho(k),$ ну понятно, что это одно и то же). В экспериментальной физике часто приходится описывать частицы именно такой приближённой, эффективной теорией: форм-фактор можно измерить как наблюдаемую величину, а потом уже по измерениям делать вывод о точечности или неточечности. Оказывается, что "толстыми" являются многие частицы, которые на разных этажах теории считаются целыми, неделимыми: адроны (в частности, нуклоны), ядра. В каком-то смысле, можно построить аналогичную теорию и для атомов (тогда химическая связь окажется обменным взаимодействием, а частица-переносчик - электрон).

То, что протон "толстый", было обнаружено ещё в 50-е годы, и указывало на его внутреннюю структуру (вместе с другими признаками). Постепенно были открыты кварки, и выяснилось, что кварки - не "толстые", точечные. Таким образом, современная теория на самом фундаментальном уровне - считает все частицы точечными. И это совпадает с экспериментом, на пределе его разрешения, с 70-х годов, и по настоящий момент, 2010-е годы. Причём, за это время предел разрешения продвинулся на порядки. Кроме того, некоторые другие признаки тоже не указывают на внутреннюю структуру частиц, сегодня считающихся фундаментальными. Ссылка: PDG Search for Compositeness http://pdg8.lbl.gov/rpp2013v2/pdgLive/P ... ?node=S054 .

Ещё оговорю, что форм-фактор теоретически точечной частицы может быть неточечным, из-за квантовополевых эффектов - радиационных поправок, "размывающих" частицу и её взаимодействие. Это надо учитывать, но к счастью, теоретически такой форм-фактор рассчитывается.

[Touol]

Спасибо. Можно представить, что есть, например, 2 частицы описывающиеся 2 волновыми пакетами $\psi_1(r)$ и $\psi_2(r)$. Тогда точечное взаимодействие между ними по идеи H_{int}=\alpha$\psi_1(r)\psi_2(r)$. То есть, взаимодействие идет на пересечении волновых пакетов, в каждой точке пересечения.
Но где-то, я неправильно представляю. Многочастичные системы описываются в конфигурационном пространстве. Вместо $\psi_1(r)$ и $\psi_2(r)$ будет $\psi_1(r_1)$ и $\psi_2(r_2)$ где $r_1$ и $r_2$ разные пространства. Тогда
H_{int}=\alpha$\psi_1(r_1)\psi_2(r_2)$ неопределено.
У меня конфликт между понятиями "точечности" и волнового пакета. Как их совместить?

[Munin]

Touol в сообщении #894650 писал(а):

То есть, взаимодействие идет на пересечении волновых пакетов, в каждой точке пересечения.

Да. Правильно.

Отсюда, кстати, банально вытекают законы сохранения энергии и импульса. Если две частицы образуют две плоские волны с $k_1,\omega_1$ и $k_2,\omega_2,$ то их произведение будет иметь $k_1+k_2,\omega_1+\omega_2,$ и в результате взаимодействия будет образовывать тоже такую сумму волн, чтобы суммарный волновой вектор был таким же.

Touol в сообщении #894650 писал(а):

Но где-то, я неправильно представляю. Многочастичные системы описываются в конфигурационном пространстве. Вместо $\psi_1(r)$ и $\psi_2(r)$ будет $\psi_1(r_1)$ и $\psi_2(r_2)$ где $r_1$ и $r_2$ разные пространства.

Да. И точечность означает, что взаимодействие происходит (не равно нулю) только на подпространстве $r_1=r_2.$ То есть, член взаимодействия имеет вид $(\text{нечто})\cdot\delta(r_1-r_2).$ А неточечность (как в предыдущем сообщении) означала бы, что здесь не дельта-функция, а какая-то более размытая функция $f(r)=f(|r_1-r_2|),$ которую и называют форм-фактором.

[Touol]

Munin в сообщении #894657 писал(а):

И точечность означает, что взаимодействие происходит (не равно нулю) только на подпространстве $r_1=r_2.$ То есть, член взаимодействия имеет вид $(\text{нечто})\cdot\delta(r_1-r_2).$

Я так думал, но сомневался . И можно последний вопрос? (надеюсь простят за захват темы).
В начальный момент времени, имеется известные волновые пакеты. Частица 1 $\psi_1(r_1)$ и частица 2 $\psi_2(r_2)$. ВФ системы определяется как их прямое произведение \Phi_0=$\psi_1(r_1)\bigotimes\psi_2(r_2)$. Между частицами включено взаимодействие.
Как вычисляются вероятности нахождения частицы 1 (или частицы 2) в какой-либо точке пространства?

-- Сб авг 09, 2014 21:17:54 --

Странно полгода назад искал ответ на вопрос. Не нашел. А счас практически сразу.

Цитата:

Волновая функция многоэлектронной системы. Волновая функ¬ция многоэлектронной системы зависит от координат и спинов всех N электронов системы и от времени:

ψ (x1, y1, z1, σ1, x2, y2, z2, σ2, …, xn, yn, zn, σn, t).

В литературе используют сокращенную запись ψ (1, 2, 3, ..., N), в которой под каж-дым числом подразумевают четыре координаты соответствующего электрона. В случае много-электронной системы вероятностная трактовка волновой функции формулируется следующим образом:

d w| ψ (x1, y1, z1, σ1, x2, y2, z2, σ2, …, xn, yn, zn, σn, t) |2 dv1 dv2… dvn.

Величина dw представляет собой вероятность того, что в момент времени t электрон номер 1 с проекцией спина σ1 находится в элементарном объеме dv1, вблизи точки с координатами (x1, y1, z1), электрон номер 2 с проекцией спина σ2 находится в элемент тарном объеме dv2 вблизи точки с координатами (x2, y2, z2), ..., а электрон номер n с проекцией спина σn находится в элементарном объеме dvn вблизи точки с координатами (xn, yn, zn). В отличие от случая одноэлек-тронной системы вероятность нахождения элек¬трона в какой-либо конкретной точке пространства является условной, так как она зависит от того, где в данный момент времени расположены остальные электроны. Говорят, что движение электронов скоррелировано, а связанные с этим эффекты называют корреляционными.

[Munin]

Просто банально как $\psi_1^*(r)\psi_1(r)$ или $\psi_2^*(r)\psi_2(r).$ Взаимодействие влияет на другое: как будет эволюционировать такая система со временем. Например, она очень быстро перестанет быть прямым произведением (если частицы сблизятся и провзаимодействуют).

Реально, чтобы приготовить такую систему, частицы $\psi_1(r_1)$ и $\psi_2(r_2)$ в начальный момент времени берут в виде волновых пакетов, находящихся в удалённых областях пространства. Чтобы частицы не "чувствовали" друг друга. В общем конфигурационном пространстве $(r_1,r_2)$ такое прямое произведение тоже образует волновой пакет ($2n$-мерный), который находится далеко от диагонали $r_1=r_2.$ И пока он движется далеко от диагонали, он движется как свободная частица, не меняет формы, и значит, сами отдельные частицы не запутываются, остаются прямым произведением. Но стоит этому двухчастичному волновому пакету приблизиться к диагонали, как он рассеивается об неё, и во все стороны разлетаются разные отражения, и вот теперь всю эту мешанину вместе взятую уже нельзя разложить на одночастичные множители. Частицы становятся запутанными между собой, даже когда разлетаются опять на большие расстояния (то есть, когда получившиеся волны в двухчастичном к. пространстве отходят опять далеко от диагонали).

Пока частицы далеко, мы можем включать-выключать взаимодействие как угодно. Если они близко, это нельзя делать: у системы со взаимодействием и у системы без взаимодействия разный физический смысл.

[AlexNew]

Известен эксперимент по интерференции сложных частиц на двух щелях, в частности фуллеренов (молекула состоит из десятков атомов углерода), причем эти молекулы ведут себя как одно целое, то есть интерферируют не отдельные электроны и протоны а все атомы сразу как одно целое.
Конечно можно формально приписать такой молекуле волну Дебройля исходя из ее массы, однако если подойти более формально, как описать поведение такой молекылы предполагая что она состоит из отдельных связанных частиц, почему мы увидим интерференцию молекулы как целого а не отдельных составляющих?

[Munin]

AlexNew в сообщении #895189 писал(а):

Известен эксперимент по интерференции сложных частиц на двух щелях, в частности фуллеренов (молекула состоит из десятков атомов углерода)

Не-а.

Известен эксперимент по интерференции сложных частиц, в частности, фуллеренов. Но не на двух щелях :-)

Их приводят в состояние интерференции другими способами. А на двух щелях - слишком сложно, и поэтому нереалистично. В 2060-м году, может, и добьются.

AlexNew в сообщении #895189 писал(а):

Конечно можно формально приписать такой молекуле волну Дебройля исходя из ее массы, однако если подойти более формально, как описать поведение такой молекылы предполагая что она состоит из отдельных связанных частиц, почему мы увидим интерференцию молекулы как целого а не отдельных составляющих?

Именно потому, что если более формально, то такой молекуле необходимо приписать волну Де Бройля. Многочастичная волновая функция такой молекулы $\psi_{n}(r_1,\ldots r_n)$ может быть разложена на множители $\psi_\text{ц.м.}(r)\psi_{n-1}(r_1-r,\ldots r_{n-1}-r)$ (точнее, представлена в базисе таких разложенных на множители функций). Здесь $\psi_\text{ц.м.}(r)$ отвечает движению центра масс, как свободной частицы суммарной массы $m,$ с соответствующей дебройлевской волной, и длина волны $\lambda=2\pi\hbar/p$ и частота $\omega=E/\hbar$ позволяют получить пространственную интерференцию, при выполнении условия когерентности (а вот его получить для крупных молекул очень сложно).

Реально в опытах с интерференцией таких крупных молекул рассматривается не пространственное движение, а интерференция каких-то других состояний $|1\rangle$ и $|2\rangle,$ которые можно различить экспериментально, например, колебательных.