комбинаторика, задача про шары из корзины

[sator]

Привет!
В корзине 52 шара. Из них по 13 синих, 13 черных, 13 красных и 13 зеленых. Шары каждого цвета пронумерованы цифрами от 1 до 13. Из корзины поочередно достается 3 шара.
Вопросы:
1)Какова вероятность того, что из трех вытянутых шаров один будет иметь нумерацию"13"?
2)Какова вероятность того, что из трех вытянутых шаров один шар будет иметь номер "12 " и это будет максимальный номер?
3)Какова вероятность того, что три шара будут иметь "соседние" номера (например 6,4,5 или 4,5,6 или 6,5,4)
4)Какова вероятность того, что один из шаров будет иметь номер "13", а два других будут иметь одинаковый номер? (например 13,3,3 ... 5,13,5... 9,9,13 и т.п)
5)Какова вероятность того, что все три шара будут иметь один цвет?

1) $\frac{4}{52}+\frac{4}{51}+\frac{4}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}\cdot\frac{2}{50}$ $-\frac{4}{52}\cdot\frac{48}{51}\cdot\frac{3}{50}-\frac{48}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}=0.222$

Можно решить другим способом?

$\frac{{C_4^1}\cdot{C_{48}^2}}{{C_{52}^3}}=0.204$

почему то ответы не сходятся, я правильно считаю?

2) $\frac{4}{52}+\frac{4}{51}+\frac{4}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}\cdot\frac{48}{50}$ $-\frac{48}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{44}{51}\cdot\frac{7}{50}$ $-\frac{44}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{4}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{48}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot\frac{4}{50}=0.181$

Здесь правильный расчет? Есть ли способ как это дело попроще посчитать?

3) Тут что-то я совсем запутался как считать, подскажите пожалуйста
4) Здесь мой мозг вообще отключился)

5) $\frac{{C_{13}^3}\cdot{C_{39}^0}}{{C_{52}^3}}\cdot4=0.0517$

[PeanoJr]

sator в сообщении #891727 писал(а):

Привет!
В корзине 52 шара. Из них по 13 синих, 13 черных, 13 красных и 13 зеленых. Шары каждого цвета пронумерованы цифрами от 1 до 13. Из корзины поочередно достается 3 шара.
Вопросы:
1)Какова вероятность того, что из трех вытянутых шаров один будет иметь нумерацию"13"?
2)Какова вероятность того, что из трех вытянутых шаров один шар будет иметь номер "12 " и это будет максимальный номер?
3)Какова вероятность того, что три шара будут иметь "соседние" номера (например 6,4,5 или 4,5,6 или 6,5,4)
4)Какова вероятность того, что один из шаров будет иметь номер "13", а два других будут иметь одинаковый номер? (например 13,3,3 ... 5,13,5... 9,9,13 и т.п)
5)Какова вероятность того, что все три шара будут иметь один цвет?

1) $\frac{4}{52}+\frac{4}{51}+\frac{4}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}\cdot\frac{2}{50}$ $-\frac{4}{52}\cdot\frac{48}{51}\cdot\frac{3}{50}-\frac{48}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}=0.222$

Можно решить другим способом?

$\frac{{C_4^1}\cdot{C_{48}^2}}{{C_{52}^3}}=0.204$

почему то ответы не сходятся, я правильно считаю?

2) $\frac{4}{52}+\frac{4}{51}+\frac{4}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}\cdot\frac{48}{50}$ $-\frac{48}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{44}{51}\cdot\frac{7}{50}$ $-\frac{44}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{4}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{48}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot\frac{4}{50}=0.181$

Здесь правильный расчет? Есть ли способ как это дело попроще посчитать?

3) Тут что-то я совсем запутался как считать, подскажите пожалуйста
4) Здесь мой мозг вообще отключился)

5) $\frac{{C_{13}^3}\cdot{C_{39}^0}}{{C_{52}^3}}\cdot4=0.0517$

В первом пункте у меня тоже получилось 0,204,если я не ошибся.
Считал так:
I cлучай:
13-не13-не13 ($\frac{13}{52}\cdot\frac{48}{51}\cdot\frac{47}{50}=0,068$)
не13-13-не13 ($\frac{48}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{47}{50}=0,068$)
не13-не13-13 ($\frac{48}{52}\cdot\frac{47}{51}\cdot\frac{4}{50}=0,068$)

В итоге получается: $0,068\cdot3=0,204$

[Lia]

PeanoJr
Замечание за полное решение простой учебной задачи и избыточное цитирование, на первый раз устное.

[PeanoJr]

В 4 пункте мне не совсем понятно, подходит ли случай $(13;13;13)$. Или же имеются ввиду два шара с одинаковым номером,но не тринадцатые. Я случай $(13;13;13)$ не учитывал.
Допустим, первый возможный случай. Сначала вытащили 13ый шар, затем нам подходит любой шар из оставшихся,за исключением 13ых, и тогда на последнее "вытаскивание" для выполнения условия остается только три варианта. И перебрать ещё два случая (когда 13ый шар вытащили вторым, а потом третьим).

P.S. Я плохо знаю комбинаторику,поэтому сразу предупреждаю,чтобы не вводить в заблуждение:) Лучше подождите профессиональных советов:)

[Shtorm]

sator в сообщении #891727 писал(а):

5) $\frac{{C_{13}^3}\cdot{C_{39}^0}}{{C_{52}^3}}\cdot4=0.0517$

Здесь всё правильно по формуле (арифметику не проверял), только не понятно зачем Вы домножили на $C_{39}^0$. Ведь в одном испытании достаются всего три шара, а Вы их сразу учли.

-- Ср июл 30, 2014 12:04:07 --

sator в сообщении #891727 писал(а):

1) $\frac{4}{52}+\frac{4}{51}+\frac{4}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}\cdot\frac{2}{50}$ $-\frac{4}{52}\cdot\frac{48}{51}\cdot\frac{3}{50}-\frac{48}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}=0.222$

Можно решить другим способом?

$\frac{{C_4^1}\cdot{C_{48}^2}}{{C_{52}^3}}=0.204$

почему то ответы не сходятся, я правильно считаю?

Формула $\frac{{C_4^1}\cdot{C_{48}^2}}{{C_{52}^3}}=0.204$ верная, арифметику не проверял. Обоснуйте применение первой формулы.

-- Ср июл 30, 2014 12:15:11 --

sator в сообщении #891727 писал(а):

4)Какова вероятность того, что один из шаров будет иметь номер "13", а два других будут иметь одинаковый номер? (например 13,3,3 ... 5,13,5... 9,9,13 и т.п)

Здесь просто по комбинаторике: фиксируйте 1 шар с номером 13, осталось взять два шара. Фиксируем для этих двух шаров два конкретных цвета - тогда сколькими способами можно взять два шара так, чтобы они пробежали номера от 1 до 13? Ну, а потом остаётся ещё, что...?

[sator]

Цитата:

Формула $\frac{{C_4^1}\cdot{C_{48}^2}}{{C_{52}^3}}=0.204$ верная, арифметику не проверял. Обоснуйте применение первой формулы.

берем случай когда первый или второй или третий шар будут с номером 13 и отнимаем случаи, когда будет одновременное появление трех шаров с номером 13, первый и третий шары с номером 13, первый и второй с номером 13, второй и третий с номером 13.

Цитата:

В 4 пункте мне не совсем понятно, подходит ли случай $(13;13;13)$

Нет, этот случай не подходит, нужны шары из которых один будет "13", а два имеют одинаковый номер, отличный от "13"

[mihailm]

sator в сообщении #891727 писал(а):

...почему то ответы не сходятся, я правильно считаю?...

Оба?

[Shtorm]

sator в сообщении #891770 писал(а):

берем случай когда первый или второй или третий шар будут с номером 13 и отнимаем случаи, когда будет одновременное появление трех шаров с номером 13, первый и третий шары с номером 13, первый и второй с номером 13, второй и третий с номером 13.
1) $\frac{4}{52}+\frac{4}{51}+\frac{4}{50}-\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}\cdot\frac{2}{50}$ $-\frac{4}{52}\cdot\frac{48}{51}\cdot\frac{3}{50}-\frac{48}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}=0.222$

Вы пишете "или", "или", а сами последовательно уменьшаете на единицу знаменатель в первых трёх дробях, НО при этом в числителе 4-ка остаётся! Почему наверху фиксируете, а внизу убавляете?

sator в сообщении #891770 писал(а):

Цитата:

В 4 пункте мне не совсем понятно, подходит ли случай $(13;13;13)$

Нет, этот случай не подходит, нужны шары из которых один будет "13", а два имеют одинаковый номер, отличный от "13"

Если брать конкретно фразу: "4)Какова вероятность того, что один из шаров будет иметь номер "13", а два других будут иметь одинаковый номер? (например 13,3,3 ... 5,13,5... 9,9,13 и т.п)", то случай 13,13,13 тоже должен входить в это множество. А по-Вашей трактовке нужно бы было так написать: "4)Какова вероятность того, что один из шаров будет иметь номер "13", а два других будут иметь одинаковый номер, не равный 13? (например 13,3,3 ... 5,13,5... 9,9,13 и т.п)"

[sator]

Цитата:

Вы пишете "или", "или", а сами последовательно уменьшаете на единицу знаменатель в первых трёх дробях, НО при этом в числителе 4-ка остаётся! Почему наверху фиксируете, а внизу убавляете?

Если первым шаром не выпал "13", то в корзине остается на 1 выпавший шар меньше, т.е. 51, а "13" там все еще 4 штуки, если второй шар не "13", то остается 50 шаров из них 4 "13"

Shtorm в сообщении #891801 писал(а):

Если брать конкретно фразу: "4)Какова вероятность того, что один из шаров будет иметь номер "13", а два других будут иметь одинаковый номер? (например 13,3,3 ... 5,13,5... 9,9,13 и т.п)", то случай 13,13,13 тоже должен входить в это множество. А по-Вашей трактовке нужно бы было так написать: "4)Какова вероятность того, что один из шаров будет иметь номер "13", а два других будут иметь одинаковый номер, не равный 13? (например 13,3,3 ... 5,13,5... 9,9,13 и т.п)"

да получается так, отредактировать сообщение не могу

[Shtorm]

sator в сообщении #891817 писал(а):

Если первым шаром не выпал "13",

Ага, теперь "не выпал", а сначала Вы писали по-другому:

sator в сообщении #891770 писал(а):

берем случай когда первый или второй или третий шар будут с номером 13

А если НЕ выпало "13" в первом вытаскивании, то почему Вы в первом числителе пишете $4$ ?? Там тогда должно быть $48$. Вы не привели в соответствие вероятность, которую находите и количество благоприятствующих исходов.

[fractalon]

2) У меня получился другой ответ. Вы, кажется, забыли про $(-1)^k$ в формуле включений-исключений. Попробуйте не использовать её, а просто перебрать три возможных позиции "12" среди вытащенных шаров. Увидите, что всё, намного проще...

(Оффтоп)

Из этой и предыдущей задаче можно извлечь неочевидный (для выбора без возвращений) с первого взгляда урок, а именно обобщить на следующую задачу: пусть есть n разных шаров, мы вытаскиваем s без возвращения. Какая вероятность, что среди них будет один и только один из некоторой группы, размером k шаров? Опять же, решая перебором позиций, можно найти связь между складываемыми дробями.

3) Попробуйте решить в несколько этапов:
а) сколько неупорядоченных наборов номеров шаров у вас может быть?
б) сколько упорядоченных вариантов может принимать один неупорядоченный набор из трёх элементов?
в) пусть дан какой-нибудь конкретный упорядоченный набор номеров вытаскиваемых шаров, найдите вероятность номеров из него (руководствуйтесь тем, что все номера всегда разные)
4) Опять же, сколько возможных вариантов чисел, отличных от 13? И теперь перебирайте позиции 13.
5) У меня другой ответ. Вы напутали с количеством элементов в группах, не те цифры стоят в сочетаниях. А можно так же как предыдущие, в два вопроса:
а) сколько различных наборов номеров может быть у шаров?
б) какова вероятность некоторого набора, где все цифры одинаковы?

[Shtorm]

fractalon в сообщении #891910 писал(а):

5) У меня другой ответ. Вы напутали с количеством элементов в группах, не те цифры стоят в сочетаниях.

Хм.

sator в сообщении #891727 писал(а):

5) $\frac{{C_{13}^3}\cdot{C_{39}^0}}{{C_{52}^3}}\cdot4=0.0517$

Поскольку автор топика фактически решил 5 пункт, то давайте обсудим, что не так по Вашему.

Значит во-первых убираем $C_{39}^0$ из числителя, оно там не нужно. Но всё равно это давало единицу. Теперь Вы говорите, что не те цифры в сочетаниях. Сколькими способами можно извлечь 3 черных шара из 13 черных? $C_{13}^3$. А сколько всего видов шаров? $4$ Всё. Ответ почти верный. Что Вас не устраивает?
С округлением только подправить: $0.0518$

[sator]

Shtorm в сообщении #891826 писал(а):

А если НЕ выпало "13" в первом вытаскивании, то почему Вы в первом числителе пишете $4$ ?? Там тогда должно быть $48$. Вы не привели в соответствие вероятность, которую находите и количество благоприятствующих исходов.

Да, эти вычисления неверны. Значит расчет по 2 вопросу тоже неверный.

2) $\frac{4}{52}\cdot\frac{44}{51}\cdot\frac{43}{50}+\frac{44}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{43}{50}+\frac{44}{52}\cdot\frac{43}{51}\cdot\frac{4}{50}$

4) $\left(\frac{4}{52}\cdot\frac{48}{51}\cdot\frac{3}{50}+\frac{48}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{3}{50}+\frac{48}{52}\cdot\frac{3}{51}\cdot\frac{4}{50}\right)\cdot12$

[Shtorm]

sator, зато смотрите: в первом пункте и в 5-ом пункте Вы смогли сразу правильно применить формулы с количеством сочетаний $C_n^k$. Может стоит и в других пунктах также попробовать? Или Вам обязательно нужно где-то применить теоремы умножения и сложения вероятностей?
Вот, например, во-втором пункте берём синий шар с номером "12" - это один способ. Этот один способ надо умножить на количество способов взять оставшиеся шары с номерами только от "1" до "11". Сколько таких способов? Ведь их легко посчитать с помощью формулы $C_n^k$. Потом берём чёрный шар с номером "12", ну и так далее.Если же во 2-ом пункте применять теоремы сложения и умножения вероятностей, то вот Ваш ответ:

Цитата:

2) $\frac{4}{52}\cdot\frac{44}{51}\cdot\frac{43}{50}+\frac{44}{52}\cdot\frac{4}{51}\cdot\frac{43}{50}+\frac{44}{52}\cdot\frac{43}{51}\cdot\frac{4}{50}$

Почему Вы складываете всего три варианта ситуаций? Разновидностей (цветов) шаров же 4. Следовательно шар с номером "12" может быть и синий, и чёрный, и красный, и зелёный.

Если хотите, чтобы Вам помогли на этом форуме, то пишите сюда как можно больше Ваших рассуждений и попыток решения.

[sator]

Shtorm в сообщении #892130 писал(а):

Почему Вы складываете всего три варианта ситуаций? Разновидностей (цветов) шаров же 4. Следовательно шар с номером "12" может быть и синий, и чёрный, и красный, и зелёный.

$\frac{4}{52}$ - тут же учтено, что выпадает шар "12" любого цвета.
$\frac{44}{51}$ - выпавший шар не "13" и не "12"
$\frac{43}{50}$ - выпавший шар не "13" и не "12"
Далее в слагаемых меняются места выпадения шара "12"