Канонический вид.

[Art89]

Вступление:
В интернете полно информации о том как приводить квадратичные формы к каноническому виду, и всю эту информацию я четно читаю второй день подряд. Четно, потому что меня просят привести далеко не квадратичную форму . Самое обидное, что второй день не могу найти ни единого примера по этому поводу. Может это слишком элементарно, не понимаю.

Задача: привести к каноническому виду уравнения кривых 2-ого порядка и изобразите линии на чертеже:
y^2-4y+x+3=0

Здесь я не понимаю, куда же деть х, подскажите пожалуйста. А изобразить линию и без канонической формы можно, из школы известо что перед нами парабола.

\[ x = 2 - \frac{3} {4}\sqrt {y^2 + 4y - 12} \]

Тут конечно если избавиться от квадрата к каноническому виду-то я приведу, но боюсь что приведу я вовсе другую функцию. Насчет графика тоже проблем нет.

Прошу вашей помощи.

[незваный гость]

Вас смутили обозначения. Начните с переменной, имеющей самую высокую степень. Думаю, в Вашем случае это $y$.

[Art89]

\[ y^2 - 4y + x + 3 = (y - 2)^2 + x - 1 = (y - 2)^2 + (x + \frac{1} {2})^2 - x^2 - \frac{5} {4} \]

Не, это явно неправильно. x два раза

[PAV]

А разве для кривой второго порядка выражение $u^2+x-1$ уже не является каноническим видом???

[Brukvalub]

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x' = 1 - x} \\ {y' = y - 2} \\ {p = \frac{1}{2}} \\ \end{array}} \right.\quad \Rightarrow (y')^2 = 2px' \]

[Алексей К.]

Art89 писал(а):

\[ y^2 - 4y + x + 3 = (y - 2)^2 + x - 1 = (y - 2)^2 + (x + \frac{1} {2})^2 - x^2 - \frac{5} {4} \]

Не, это явно неправильно. x два раза

Правильно, если вовремя остановиться:

$$y^2 - 4y + x + 3 = \underbrace{(y - 2)^2}_{u^2} + x - 1$$

[Art89]

подскажите насчет второго. с чего начинать? что с этим корнем делать?

[Алексей К.]

Art89 писал(а):

\[ x = 2 - \frac{3} {4}\sqrt {y^2 + 4y - 12} \]

Тут конечно если избавиться от квадрата к каноническому виду-то я приведу, но боюсь что приведу я вовсе другую функцию.

Избавляйтесь и приводите. А я пока дополню это сообщение пояснением.

Добавлено спустя 10 минут 46 секунд:

Не путайте график функции и кривую 2-го порядка.
Например, окружность $x^2+y^2=1$ можно рассматривать как два графика двух функций $y=+\sqrt{1-x^2}$ и $y=-\sqrt{1-x^2}$ (верхнюю и нижнюю полуокружности). Но окружность в целом не является графиком функции. Избавившись от радикала (не от квадрата, как Вы пишете), Вы получите неявное уравнение кривой 2-го порядка ($x^2+y^2=1$, в данном примере уже сразу "канонизированное"), частью которой будет тот самый график, с которого Вы начинали (например, $y=-\sqrt{1-x^2}$).