Формула Стирлинга

[sng1]

$n! =\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^\frac{\theta_n}{12n}, \frac{12n}{12n+1}< \theta_n<1$.

Если кто знает, подскажите пожалуйста более точные границы для $\theta_n$.

[patzer2097]

у Вас формула неправильная, а найти ее правильный вид и более точные оценки можно где угодно

[sng1]

Спасибо за ссылку. Используя приведенное в ней разложение для $\ln(n!)$ можно уточнить границы. Например, так
$n! =\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^\frac{\theta_n}{12n}, \frac{30n^2-1}{30n^2}< \theta_n<1$,
или даже еще точнее.

[sng1]

Нашел еще точнее. $B_{2i}$ - числа Бернулли.

$$n! =\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\theta_n}, \quad \max_{m \in \mathbb{N}} \sum_{i=1}^{2m}\frac{B_{2i}}{2i(2i-1)n^{2i-1}}<\theta_n<\min_{m \in \mathbb{N}} \sum_{i=1}^{2m-1}\frac{B_{2i}}{2i(2i-1)n^{2i-1}}$$

[sng1]

Осталось понять насколько исследованы фунции (последовательности)

$$\varphi_1(n) := \arg \max_{m \in \mathbb{N}}\sum_{i=1}^{2m} \frac{B_{2i}}{2i(2i-1)n^{2i-1}}, \quad \varphi_2(n) := \arg\min_{m \in \mathbb{N}}\sum_{i=1}^{2m-1} \frac{B_{2i}}{2i(2i-1)n^{2i-1}}$$