Корни многочленов в поле.

[Braga]

Пусть имеется коммутативное поле T и некоторый многочлен $f(x) \in T[x]$ степени n. Вопрос: как может существовать два надполя поля Т, каждый с полным разным набором корней многочлена $f(x)$? Это вопрос к теореме о том, что для каждого многочлена существует надполе с n корнями этого многочлена, причём единственное в точности до Т-изоморфизма(то есть изоморфизм между этими двумя надполями поля Т, где Т переходит само в себя).

Если можно, то с примером

[nnosipov]

Что Вы называете надполем?

[Braga]

Пусть T поле, тогда V - надполе, если $T \subset V$ и V - поле.

[nnosipov]

Braga в сообщении #890359 писал(а):

Вопрос: как может существовать два надполя поля Т, каждый с полным разным набором корней многочлена $f(x)$?

Пусть $f(x)=x^2-2 \in \mathbb{Q}[x]$, одно надполе --- это $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, другое надполе --- это, например, $\mathbb{R}$.

Формулировка теоремы у Вас какая-то странная.

[Braga]

nnosipov в сообщении #890362 писал(а):

Braga в сообщении #890359 писал(а):

Вопрос: как может существовать два надполя поля Т, каждый с полным разным набором корней многочлена $f(x)$?

Пусть $f(x)=x^2-2 \in \mathbb{Q}[x]$, одно надполе --- это $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, другое надполе --- это, например, $\mathbb{R}$.

Формулировка теоремы у Вас какая-то странная.

Не на русском учусь и поэтому перевожу как могу, не зная некоторым определениям аналогов или точных переводов.

У вас эти поля не изоморфны. И вроде бы набор корней может быть разный, как я понял из доказательства, потому что в качестве одного из надполей берут поле $T(a_1, a_2,...,a_n)$, где $a_i$ - корни, затем берут второе надполе $T(b_1, b_2...b_n)$, и находят такой изоморфизм, где все элементы а переходят в элементы b. Или здесь всё же имеется в виду, что это те же самые элементы, то есть всегда эти надполя имеют общие элементы кроме самого Т и это как раз те самые корни(ну и что-то вдобавок)?

[nnosipov]

На самом деле в теореме речь идёт о $T$-изоморфности любых двух минимальных (а не произвольных) полей разложения данного многочлена $f(x) \in T[x]$. Подробности можно узнать, например, в книге Кострикина "Введение в алгебру" (М., Наука, 1977), стр. 424-427.

[Braga]

Да, забыл упомянуть о минимальности, сейчас посмотрю, спасибо.

[Braga]

Прочёл несколько вариантов доказательств этой теоремы и всё-таки не совсем понимаю...

Пусть $f(x) \in T[x]$, степень $f(x)$ $n$, $T_1 = T(a_1, a_2, ..., a_n)$ и $T_2 = T(b_1, b_2, ..., b_n)$ два поля разложения многочлена $f(x)$. По вышеописанной теореме они изоморфны. В каждом из этих полей у данного многочлена есть $n$ корней. Тогда получается если сконструируем поле
$T(a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n)$, $f(x)$ должен был бы в нём иметь $2n$ корней, но максимальное количество корней многочлена в данном поле должно быть только $n$.
Более того, если $\varphi : T_1 \longrightarrow T_2$ изоморфизм этих двух полей(не тождественное отображение), а $\varphi (a_i)=b_i$, и $f(x)=f_1 (x) \cdot f_2 (x) ... f_n (x)$ разложение на линейные множители в $T_1$, а $f(x)=\varphi f(x)=\varphi f_1 (x) \cdot \varphi f_2 (x) ... \varphi f_n (x)$ разложение на множеители в $T_2$, то создай мы полей $T(a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n)$, в нём должно было бы быть два различных разложения на множители, что опять противоречит другим теоремам. Что я не так понимаю в понятии двух разных полей разложения(минимальных)?

[nnosipov]

Braga в сообщении #890582 писал(а):

Тогда получается если сконструируем поле
$T(a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n)$,

А как Вы его сконструируете? Ведь $a_i$ и $b_j$ --- это элементы разных полей.

Вообще, полезно продумать результат теоремы на примере (конечных) расширений данного конечного поля.

[Braga]

nnosipov в сообщении #890584 писал(а):

Braga в сообщении #890582 писал(а):

Тогда получается если сконструируем поле
$T(a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n)$,

А как Вы его сконструируете? Ведь $a_i$ и $b_j$ --- это элементы разных полей.

Не понял, почему не могу сконструировать таким образом? Если существует $T(a)$, $T(b)$, то должно существовать и $T(a,b)$. Или имеется в виду, что не определена операция сложения/умножения между элементами $a$ и $b$?

Насчёт примера мне приходил в голову только характеристичеcкий многочлен матрицы и то, что матрица является корнем своего характеристического многочлена. Но кольцо квадратных матриц не может быть полем, так что этот пример не подходит.

[nnosipov]

Braga в сообщении #890588 писал(а):

Не понял, почему не могу сконструировать таким образом?

Давайте начнём с определений: что такое $T(a_1,\dots,a_n)$?

-- Вс июл 27, 2014 18:23:12 --

Braga в сообщении #890588 писал(а):

Насчёт примера мне приходил в голову только характеристичеcкий многочлен матрицы и то, что матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Нет, я не о том. К примерам можно будет вернуться позже.

[Braga]

$T(a_1, a_2, ..., a_n) = \lbrace \frac{f(a_1, a_2,..., a_n)}{g(a_1, a_2,..., a_n)} : f(x_1, x_2,...,x_n), g(x_1, x_2,...,x_n) \in T[x_1, x_2,...,x_n], g(a_1, a_2,...,a_n) \neq 0 \rbrace$

[nnosipov]

А кто такие $a_i$ в этом определении?

[Braga]

Какие-то элементы поля V, которое содержит в себе Т

[nnosipov]

Вот. А поле $V$ может быть разным. Поэтому обозначение $T(a_1,\dots,a_n)$ неявно подразумевает наличие некоторого расширения $T$. А обозначение $T(b_1,\dots,b_n)$ --- другого, вообще говоря, расширения $T$.