Полином 2014

[staric]

Полином с целыми коэффициентами $ P(x)=x^{2014}+2x^{2013}+x^{2012}+... $ имеет только действительные корни (возможно, кратные).
Верно ли, что среди них нет иррациональных корней?

[hippie]

Ответ: Верно.

Сумма квадратов корней данного уравнения равна 2 (из теоремы Виета).
Если ненулевых корней более двух, то их среднее квадратичное меньше 1. Тогда и среднее геометрическое их модулей меньше 1. Поэтому модуль их произведения строго меньше 1, и, следовательно, не может быть целым числом. Таким образом, в этом случае, у многочлена есть нецелый коэффициент, что противоречит условию.

Следовательно, данный многочлен имеет 2012 корней равных 0, а 2 ненулевых корня равны $-1.$