Вопрос по задаче.

[fronnya]

Есть четырехугольник $ABCD$. $S$- точка пересечения его средних линий, а $M$- точка, лежащая в плоскости четырехугольника. Нужно доказать, что $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MS}$.
Я просто по отдельности расписал каждый вектор:

$$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SA},$$

$$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SB},$$

$$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC},$$

$$ \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SD}.$$

Сложил и получил

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}$$

Внимание, вопрос: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\vec{0}$?

[main.c]

fronnya в сообщении #889427 писал(а):

Есть четырехугольник $ABCD$. $S$- точка пересечения его средних линий, а $M$- точка, лежащая в плоскости четырехугольника. Нужно доказать, что $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MS}$.
Я просто по отдельности расписал каждый вектор:

$$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SA},$$

$$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SB},$$

$$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC},$$

$$ \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SD}.$$

Сложил и получил

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}$$

Внимание, вопрос: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\vec{0}$?

Нет. Но Вам может помочь вот этот материал: http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/mline.htm

[fronnya]

main.c , спасибо, прочту и буду искать другой выход.

-- 22.07.2014, 12:22 --

Очень полезный материал, я даже понял, что мне недавно говорил Munin про радиус-векторы. Спасибо!

[arseniiv]

Ещё можете в сторонке доказать, что для правильного многоугольника $A_1\cdots A_n$ с центром $O$ будет выполняться $\overrightarrow{OA_1} + \ldots + \overrightarrow{OA_n} = \vec0$, если уже не встретилось такое.

[fronnya]

arseniiv в сообщении #889480 писал(а):

Ещё можете в сторонке доказать, что для правильного многоугольника $A_1\cdots A_n$ с центром $O$ будет выполняться $\overrightarrow{OA_1} + \ldots + \overrightarrow{OA_n} = \vec0$, если уже не встретилось такое.

Уже доказал.

[ewert]

fronnya в сообщении #889427 писал(а):

Внимание, вопрос: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\vec{0}$?

Лучше подумайте, что такое $\frac12\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}\right)$. Это ведь что-то уже до боли Вам знакомое по одной из предыдущих задач...

[fronnya]

ewert в сообщении #889488 писал(а):

fronnya в сообщении #889427 писал(а):

Внимание, вопрос: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\vec{0}$?

Лучше подумайте, что такое $\frac12\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}\right)$. Это ведь что-то уже до боли Вам знакомое по одной из предыдущих задач...

Чем только меня не бей- не пойму.

[ewert]

fronnya в сообщении #889493 писал(а):

Чем только меня не бей- не пойму.

ну Вы ж уж вроде как осознали, что середины сторон образуют вроде как параллелограмм; а теперь попытайтесь осознать, как векторы, направленные на вершины, связаны с этими серединами