Топология и арифметические прогрессии.

[main.c]

Цитата:

Рассмотрим следующее свойство подмножества $F$ множества нату-
ральных чисел $\mathbb N$: существует такое$ N \in \mathbb N$, что $F$ не содержит арифметической
прогрессии длиной больше $N$ . Докажите, что набор, состоящий из таких подмножеств и всего множества $\mathbb N$, образует совокупность замкнутых множеств некоторой топологии в $\mathbb N$.

Нет ни малейшего представления, как тут доказывать, может кто-нибудь подкинуть идею?

[demolishka]

Вы знаете, что топологию можно задавать не только через открытые, но и через замкнутые множества(с другими аксиомами естественно)? Вот проверьте, что для подмножеств из вашей задачи выполняются эти аксиомы.

[main.c]

Так, допустим.
Пусть $S$ рассматриваемый набор и $F_1, F_2 \in S$, для этих множеств существуют числа $N_1$ и $N_2$, такие, что данные подмножества не содержат арифметических прогресий длины больше, чем $N_1$ и $N_2$ соответственно.
1. Очевидно, что $F_1 \cap F_2$ cодержит прогрессию длины не больше чем $\max\{N_1, N_2\}$, а это значит что пересечение любого набора множеств из $S$ есть множество из $S$.
3. $\varnothing, \mathbb N \in S$.
2. А вот с объединением не всё так просто.

[demolishka]

Я не даром написал, что аксиомы задания топологии через замкнутые множества - другие. Подумайте, какие. Ответы на ваши вопросы в прошлой теме должны вас на это натолкнуть.

[takeover]

main.c в сообщении #889323 писал(а):

1. Очевидно, что $F_1 \cap F_2$ cодержит прогрессию длины не больше чем $\max\{N_1, N_2\}$

Оценка то верная и для пересечения конечного числа множеств сработает, но вот

main.c в сообщении #889323 писал(а):

а это значит что пересечение любого набора множеств из $S$ есть множество из $S$.

Если что-то выполнено для конечного набора множеств - это еще не значит, что оно выполнено для любого. Ваша оценка не позволяет сказать, что это выполнено для любого набора.

[main.c]

demolishka в сообщении #889325 писал(а):

Я не даром написал, что аксиомы задания топологии через замкнутые множества - другие. Подумайте, какие. Ответы на ваши вопросы в прошлой теме должны вас на это натолкнуть.

Аксиомы:
1. Пересечение любого набора множеств из $S$ принадлежит $S$.
2. Объединение конечного набора множеств из $S$ принадлежит $S$.
3. Пустое множество и множество на котором определена топология принадлежат $S$.
Разве это не аксиомы задания топологии через замкнутые множества?

takeover в сообщении #889326 писал(а):

Если что-то выполнено для конечного набора множеств - это еще не значит, что оно выполнено для любого. Ваша оценка не позволяет сказать, что это выполнено для любого набора.

Частично согласен, но это пересечение, а значит количество элементов не больше, чем в исходных множествах (речь не только о конечных), и нет разницы, бесконечное пересечение или нет. Или я не прав?

[demolishka]

Аксиомы правильные, просто вы проверяете для пересечения конечного числа множеств, с грубой оценкой(максимум - слишком уж много). Из ваших слов не следует, что для счетного числа подмножеств оценка верна. Поправьте оценку и используйте тот факт, что любое подмножество натуральных чисел ограничено снизу.
В чем затруднение в случае с объединением?

[main.c]

demolishka в сообщении #889331 писал(а):

Аксиомы правильные, просто вы проверяете для пересечения конечного числа множеств, с грубой оценкой(максимум - слишком уж много). Из ваших слов не следует, что для счетного числа подмножеств оценка верна. Поправьте оценку и используйте тот факт, что любое подмножество натуральных чисел ограничено снизу.
В чем затруднение в случае с объединением?

А множества из набора могут быть и бесконечными так?
И не очень понятно, чем мне может помочь ограниченность снизу.

[demolishka]

Вам не важно какими могут быть множества из набора. Вам интересна только лишь их характеристика - число $N$. Ваша задача в том, чтобы из счетного числа таких характеристик подобрать одну(или показать ее существование) - характеристику для пересечения счетного числа соответствующих множеств, и в том, чтобы по конечному числу характеристик подобрать одну - характеристику для объединения соответствующих множеств.

[main.c]

И по моему оценка максимум не грубая. Возьмём для простоты $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ и $\{1, 2, 3\}$, для них $N$ равно 5 и 3 соответственно. Для пересечения $N$ равно 5. И это лишь конечное пересечение конечных множеств. Так что оценка не грубая. Ну или я не так понимаю формулировку утверждения.

[demolishka]

У вас для множества $A$ характеристика $N_{1}$ и для множества $B$ характеристика $N_{2}$. Их пересечение содержится как и в $A$, так и в $B$. Так какую лучше характеристику взять для пересечения: $N_{1}$ или $N_{2}$? Конкретно в вашем примере - у вас множество в пересечении состоит из трех элементов, а вы его характеризуете числом 5. Как-то нехорошо.

[main.c]

demolishka в сообщении #889338 писал(а):

У вас для множества $A$ характеристика $N_{1}$ и для множества $B$ характеристика $N_{2}$. Их пересечение содержится как и в $A$, так и в $B$. Так какую лучше характеристику взять для пересечения: $N_{1}$ или $N_{2}$? Конкретно в вашем примере - у вас множество в пересечении состоит из трех элементов, а вы его характеризуете числом 5. Как-то нехорошо.

Ой, что-то я маху дал . Конечно лучше минимум взять. Но суть от этого нисколько не изменится.

[demolishka]

Разберитесь теперь с объединением. Опять возьмите множества $A$ и $B$ с характеристиками $N_{1}$ и $N_{2}$. Какую можно взять характеристику для их объединения?

[takeover]

main.c в сообщении #889328 писал(а):

Частично согласен, но это пересечение, а значит количество элементов не больше, чем в исходных множествах (речь не только о конечных), и нет разницы, бесконечное пересечение или нет. Или я не прав?

Возьмем стандартную топологию на $\mathbb{R}$. Счетное пересечение открытых множеств открытым быть не обязано. Пример: $(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$. Пересечение всех таких множеств состоит только из нуля - замкнутое множество, но не открытое. Однако пересечение конечного числа открытых - открыто.

main.c в сообщении #889341 писал(а):

Ой, что-то я маху дал . Конечно лучше минимум взять. Но суть от этого нисколько не изменится.

Как это не изменится! Это все в корне меняет.

[main.c]

demolishka в сообщении #889346 писал(а):

Разберитесь теперь с объединением. Опять возьмите множества $A$ и $B$ с характеристиками $N_{1}$ и $N_{2}$. Какую можно взять характеристику для их объединения?

$N_1+N_2$ можно взять.