Производная оператора. ЛЛ 3.

[yerbolat.dauletyarov]

Добрый день!

Разъясните следующий трюк:

$\frac{d}{dt}\int(\Psi^*f\Psi)dq=\int\Psi^*\frac{\partial f}{\partial t}\Psi dq + \int\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}f\Psi dq + \int\Psi^*f\frac{\partial \Psi}{\partial t}dq$

где $f$ это оператор.

В частности:
1. Откуда появилась частная производная?
2. Что означает $\frac{\partial f}{\partial t}$ ?

[Bulinator]

yerbolat.dauletyarov в сообщении #889004 писал(а):

Откуда появилась частная производная?

А что еще могло быть?

yerbolat.dauletyarov в сообщении #889004 писал(а):

Что означает $\frac{\partial f}{\partial t}$ ?

у вас оператор же может явно зависеть от времени. Например иметь вид $\sin{\omega t}\partial_x$. Вот именно это производная и имеется ввиду. Строго же, это тот оператор, собственные числа которого являются производными по времени от собственных чисел оператора $f$.

[Munin]

Простое правило Лейбница: производная от произведения равна сумме, в которой производные берутся от каждого из сомножителей. (Кроме того, интеграл есть просто сумма, и производная от суммы есть сумма производных от слагаемых.)

Частная производная взялась оттого, что снаружи есть только одна переменная - $t$ - и по ней берётся производная. А внутри интеграла - есть ещё переменная интегрирования $q.$ И чтобы её не примешивать, производную надо обозначить как частную.

$\dfrac{\partial f}{\partial t}$ - самое интересное. Если вы воспринимаете оператор как "правило", ставящее функции $\Psi$ в соответствие функцию $f\Psi,$ то вам трудно будет это себе представить (впрочем, если взять линейный оператор в конечномерном пространстве, то можно представить, как он плавно меняется со временем - например, в матрице такого оператора можно взять производные по времени от всех элементов матрицы). Тут лучше представить себе оператор как ядро. Тогда производная по времени от оператора означает производную по времени от ядра (аналогично матрице). Ну и наконец, удивительно, но можно дифференцировать операторы, которые вы представляете в виде "символа". Например, пусть оператор есть нечто типа $a(t)\dfrac{\partial}{\partial x}+b(t).$ Тогда запишем:
$\dfrac{\partial}{\partial t}(f\Psi)=\underline{\left(\dfrac{\partial f}{\partial t}\right)\Psi}+\underline{\underline{f\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi}}$

$\begin{aligned}&\dfrac{\partial}{\partial t}\left(a(t)\dfrac{\partial}{\partial x}+b(t)\right)\Psi=\dfrac{\partial}{\partial t}\left(a(t)\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}+b(t)\Psi\right)=\\ &=\dfrac{\partial a(t)}{\partial t}\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}+a(t)\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial t\partial x}+\dfrac{\partial b(t)}{\partial t}\Psi+b(t)\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=\\ &=\underline{\left(\dfrac{\partial a(t)}{\partial t}\dfrac{\partial}{\partial x}+\dfrac{\partial b(t)}{\partial t}\right)\Psi}+\underline{\underline{\left(a(t)\dfrac{\partial}{\partial x}+b(t)\right)\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}}}\end{aligned}$
Как видите, производная от $f\Psi$ распадается на два слагаемых, которые вполне логично назвать производной от $\Psi$ и производной от самого оператора. Здесь получилось просто, потому что сомножитель $\dfrac{\partial}{\partial x}$ сам по себе - константа по времени, но если бы там стояло что-то типа $\dfrac{\partial}{\partial c(x,t)},$ получилось бы сложнее.

-- 20.07.2014 22:44:57 --

Bulinator в сообщении #889010 писал(а):

Строго же, это тот оператор, собственные числа которого являются производными по времени от собственных чисел оператора $f$.

А собственные векторы совпадают? А всегда?

[Bulinator]

Munin в сообщении #889013 писал(а):

А собственные векторы совпадают? А всегда?

Не знаю. Но по-моему второе определение строже и если возникают сомнения, то нужно пользоваться им.

[yerbolat.dauletyarov]

Спасибо, помогло. :)

[Munin]

Bulinator в сообщении #889029 писал(а):

Но по-моему второе определение строже

Строже, вот только о совпадении собственных векторов ничего не говорит :-) Я могу привести бесконечно много операторов, под него подпадающих, но производными по времени от заданного не являющихся.

[type2b]

Bulinator в сообщении #889010 писал(а):

это тот оператор, собственные числа которого являются производными по времени от собственных чисел оператора $f$

Это совсем неверно. Возьмем, например, оператор $\left(\begin{array}{cc}1&f(t)\\1&1\end{array}\right)$. Его собственные числа есть $1\pm\sqrt{f}$, а его производная нильпотентна, так что ее собственные числа равны нулю.

Когда непонятно определение производной от чего-то, или какие-то ее свойства, то нужно просто вспоминать определение. Производную можно пытаться определить для любого объекта, зависящего от параметра, если объекты этого сорта можно складывать и умножать на числа. Она есть просто $(A(t+\Delta t)-A(t))/\Delta t$, при $\Delta t\rightarrow 0$. Тут $A$ может быть оператором, т.к. для них определено сложение и умножение на числа.

[Munin]

type2b в сообщении #889228 писал(а):

Это совсем неверно.

А для эрмитовых?

-- 21.07.2014 23:23:56 --

type2b в сообщении #889228 писал(а):

Когда непонятно определение производной от чего-то, или какие-то ее свойства, то нужно просто вспоминать определение.

Ну, от определения можно отталкиваться для строгости, но "прочувствовать" по нему, что это такое, может быть трудно.

Не так просто поначалу представлять себе разность операторов, предельные переходы в пространстве операторов...

[type2b]

Munin в сообщении #889294 писал(а):

А для эрмитовых?

модифицируйте мой контрпример, чтобы оператор стал эрмитовым

Я не вижу проблем с разностью операторов.

Мой совет происходит из опыта: когда непонятно что-то (например, производная), надо просто вспоминать определение. Или, скажем, возникает вопрос: а верно ли для этих производных правило Лейбница? Или, верно ли оно при дифференцировании некоммутирующих объектов? Берем определение, и сразу все видим.

[Munin]

type2b в сообщении #889306 писал(а):

Я не вижу проблем с разностью операторов.

Ну конечно, с вашим-то опытом. А если человек недавно впервые познакомился с операторами, и ещё не умеет "обращаться с ними, как повар с картошкой"? :-) Впрочем, стимулировать смелость тоже хорошо.

type2b в сообщении #889306 писал(а):

Мой совет происходит из опыта: когда непонятно что-то (например, производная), надо просто вспоминать определение.

В общем, хороший совет. Но часто означает только начало работы.

-- 21.07.2014 23:52:30 --

type2b в сообщении #889306 писал(а):

модифицируйте мой контрпример, чтобы оператор стал эрмитовым

Пытаюсь, контрпример теряет свойства контрпримера. Что я делаю не так? :-)

[type2b]

Munin в сообщении #889309 писал(а):

контрпример теряет свойства контрпримера

$\left(\begin{array}{cc}1&f\\f&-1\end{array}\right).$ Вообще, исходное утверждение верно только для специальных матриц, а для наугад взятой чаще неверно. Напишите производную собственных чисел матрицы 2x2, и собственные числа производной.

[Munin]

type2b в сообщении #889319 писал(а):

Вообще, исходное утверждение верно только для специальных матриц, а для наугад взятой чаще неверно.

Да, я понял. Оно верно, только если собственные векторы не меняются, а меняются только собственные числа. Это, действительно, сильное ограничение.

Надо же, а поначалу выглядело для меня правильным :-)

[Bulinator]

type2b в сообщении #889228 писал(а):

Это совсем неверно.

Праивльно, совсем неверно. Сории