Мат. ожидание максимума квадратов зависимых величин

[fractalon]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей из книги Ширяева "Вероятность".
$\xi$ и $\eta$ - зависимые случайные величины с коэффициентом корреляции $p=p(\xi,\eta)$. $M{\xi}=0$, $M{\eta}=0$, $D{\xi}=1$, $D{\eta}=1$.
Задача: доказать, что $M{\max(\xi^2,\eta^2)}\le1+\sqrt{1-p^2}$.

Отчёт о моих попытках:
Сразу можно сказать, что $M{(\xi^2)}=M{(\eta^2)}=1$; $p=cov(\xi,\eta)=M{(\xi\eta)}$
Единственное место в главе, в которой дана эта задача, с упоминанием $1-p^2$ - это приближение $\eta$ через $\xi$ и $p$, то есть формулы $\lambda (\xi)=M{\xi}+\frac{cov(\xi,\eta)}{D{\xi}}(\xi-M{\xi})$ и $M{(\eta-\lambda (\xi))^2}=D{\eta}(1-p^2(\xi,\eta))$. Подставляя значения мат. ожидания и дисперсии, можно получить $\lambda(\xi)=M{(\xi\eta)}\xi$ и $M{(\eta-\lambda (\xi))^2}=1-p^2$, то есть $M{(\eta-M{(\xi\eta)}\xi)^2}=1-p^2$.
Используя неравенство $M{(X^2)} \ge (M{X})^2$, можно, кажется, прийти к выводу, что $\sqrt{1-p^2} \ge M{|\eta-M{(\eta\xi)}\xi|}$.
И вот мы пришли к некоторой оценке какой-то разности (и можно оценить отклонение максимума от одной из величин), но: во-первых, абсолютно ничего неизвестно про $M{(\xi\eta)}$ (может быть, её как-то можно оценить по имеющимся данным, но я таких формул не знаю); во-вторых, когда у нас появляется корень под $1-p^2$, который должен быть в формуле, то пропадают квадраты над $\xi$ и $\eta$ (впрочем, над ними их не стояло, но квадрат был хотя бы над общей скобкой).

Помогите, пожалуйста, найти ошибку в выведенных формулах или направьте заблудившегося на верный путь рассуждений. Спасибо.

[Henrylee]

Используйте равенство

$$ \max\{\xi^2,\eta^2\}=\frac12\left(\left|\xi^2-\eta^2\right|+\xi^2+\eta^2\right) $$