О сравнении x^3+y^3+z^3=0(mod P)

[Коровьев]

Сравнение

$x^3 + y^3 + z^3 \equiv 0\left( {\bmod P} \right)$

не имеет решений при $x,y,z$ не делящихся на $P$ для трёх простых чисел $2,7,13$.
Других простых чисел, для которых данное сравнение не имеет решений при $x,y,z$ не делящихся на $P<$ $500$ $000$, PARI/GP не нашёл.
Возможно, что это справедливо для всех простых чисел, кроме трёх $2,7,13$.

[Mathusic]

Во всяком случае, это верно, если не ошибаюсь, для простых чисел вида $3k-1$.
Интересно тогда по какой причине, если верно вообще, ускользают числа $7, 13.$

Вообще, что-то было сильное, вроде, про ВТФ в полях вычетов?

[dmd]

Коровьев

А не могли бы Вы привести код pari/gp, которым решали сравнение.

[Mathusic]

Ну да, для $3k-1$ всегда подходит, например тройка $(\sqrt[3]{-2},1,1).$

[Коровьев]

Mathusic в сообщении #888643 писал(а):

Во всяком случае, это верно, если не ошибаюсь, для простых чисел вида $3k-1$.
Интересно тогда по какой причине, если верно вообще, ускользают числа $7, 13.$

Вообще, что-то было сильное, вроде, про ВТФ в полях вычетов?

Да, это верно для всех простых чисел вида $3k-1$, кроме $2$.
Если бы нашлось бесконечно много простых чисел подобных $2,7, 13.$, то теорема Ферма для показателя "три" решалась бы автоматически.
Но я таких больше не нашёл, буду искать доказательство. Факт очень любопытный и, по всей видимости, доказательства, что таких чисел бесконечно много не существует, иначе Ферма для показателя три было бы просто следствием.

dmd в сообщении #888660 писал(а):

Коровьев

А не могли бы Вы привести код pari/gp, которым решали сравнение.

{
forprime( p = 1, 500 000, 
for(a=1,p-1,
for(b=a,p-1,t=lift(Mod(a^3+b^3+1,p));
if(t==0,break(2));
if(a==p-1,B=[p]);
if(a==p-1,print(p));
);););
print(end)
}

У меня молотило несколько часов, точно не знаю, так как не засёк. До миллиона проверять не стал. Можно ещё немного ускорить, ежели рассматривать только простые вида $3k+1$

[Sonic86]

В Айрленде Роузене описан способ аналитический вычисления числа решения $N_p$ сравнения $a_1x^{n_1}+...+a_rx^{n_r}\equiv b \pmod p$. В ней получается что-то вроде $|N_p-p^{r-1}|=O(p^{\frac{r-1}{2}})$. Т.е. для $p\geqslant p_0$ Ваше сравнение всегда имеет решение. Техника вполне доступна, можно конкретно Ваше сравнение поразбирать, м.б. такая же оценка и выйдет.

[dmd]

Коровьев

Спасибо!

(Оффтоп)

if(a==p-1,B=[p]);

эта строчка лишняя?


Можете ещё пояснить, почему исходное $x^3 + y^3 + z^3$ заменено на $a^3+b^3+1$?

[AV_77]

dmd в сообщении #888791 писал(а):

Можете ещё пояснить, почему исходное $x^3 + y^3 + z^3$ заменено на $a^3+b^3+1$?

Так как нужны ненулевые решения, то можно считать, что $z \not \equiv 0 \pmod{p}$. Тогда $z$ обратим по модулю $p$ и на него можно "сократить".

[Коровьев]

dmd в сообщении #888791 писал(а):

Код:

if(a==p-1,B=[p]);
эта строчка лишняя?

Да, лишняя.

[Коровьев]

Я запустил эту программку для других показателей и в интервале $P<100.000$
Ситуация получается очень схожей с показателем "три". Сначала PARI находит несколько простых чисел, для которых сравнение не имеет решений в числах не делящихся на это простое число. Затем большой провал, стесняюсь сказать, бесконечный.
$n=4;P=2,5,17,29,41.$
$n=5;P=2,11,41,71,101.$
$n=7;P=2,29,71,113,491.$
$n=11;P=2,23,89,947,1409.$
$n=13;P=2,53,131,443,521.$
Очень странно, но интересно.

[Sonic86]

(какой-то беспонтовый неинтересный текст)

Коровьев в сообщении #888948 писал(а):

Ситуация получается очень схожей с показателем "три". Сначала PARI находит несколько простых чисел, для которых сравнение не имеет решений в числах не делящихся на это простое число. Затем большой провал, стесняюсь сказать, бесконечный.

Что как раз из следует из оценки числа решений через тригонометрические суммы

Для нечетных $n$ $-1=(-1)^n$, потому сравнение сводится к $u^n+v^n\equiv 1\pmod P$, а $N(x^n+y^n+z^n\equiv 0\pmod{P}, P\nmid xyz)=(P-1)N(u^n+v^n\equiv 1\pmod P)$, а далее юзаем предложение 8.4.1.:
$|N(u^n+v^n\equiv 1\pmod p)-n\delta_n(-1)-(p+1)|\leqslant (n-1)(n-2)\sqrt{p}$, $\delta_n(-1)\in \{0;1\}$.
Отсюда получаем, что сравнение имеет решения при $P:P+1\geqslant (n-1)(n-2)\sqrt{P}$, что верно при $P\geqslant ((n-1)(n-2))^2$.
Т.е.
$n=5$ - всегда есть решения при $P\geqslant 144$
$n=7$ - всегда есть решения при $P\geqslant 900$
$n=11$ - всегда есть решения при $P\geqslant 8100$
$n=13$ - всегда есть решения при $P\geqslant 13200$
И т.п.

[alexo2]

Приведу цитату из своей темы "И вновь о соседних кубах", - не думаю, что просто совпадение:

«Псевдокубами» или «Кубами по основанию» я называю такие степенные формы, которые имеют аналогичное «строение» с кубами, однако, «правила построения» несколько видоизменены. Например, известно, что каждый «классический» куб состоит (или «строится») из суммы последовательных «добавок» вида $1 + 6T$, где Т – соответствующее треугольное число. Так вот, «псевдокубы» строятся из добавок вида в общем случае: $1+2nT$, кроме n=3 (при n=3 это будет классический куб). n и является «основанием». При n=2 и n=7 решения для разности кубов имеются. При других n их может не быть – исследовал «недалеко» - до n = 9 – кроме 2 и 7 решений нет.

Прочитав тему "О сравнении.." продлил проверку до n = 20. Как и подозревал, к числам 2, 7 добавилось 13...