Обобщение скалярного произведения.

[AlexeyE]

Здравствуйте!

Все знают, что такое скалярное произведение (меня интересует то, которое над полем вещественных чисел) - это вещественнозначная функция двух векторных переменных $(\cdot,\cdot)$, удовлетворяющая трём свойствам:
1. $(x,x)\geq0$ для всех $x$ и $(x,x)=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$;
2. $(x,y)=(y,x)$;
3. функция линейна по первому аргументу.

Меня же интересует более общая вещь. Если брать не обычные векторы, у которых каждая компонента - число, а брать векторы, у которых каждая компонента - квадратная матрица размерности $n\times n$. И скалярным произведением называть функцию, которая принимает значения в пространстве $R^{n\times n}$ и обладает такими свойствами:
1. $(X,X)$ - положительно полуопределённая матрица, $(X,X)$ - нулевая матрица тогда и только тогда, когда $X$ - нулевая;
2. $(X,Y)=(Y,X)^T$ ($T$ - знак транспонирования);
3. функция линейна по первому аргументу.

Поясню ещё раз: $X$ - вектор из матриц, т.е. фактически это матрица размерности $(n\cdot m)\times n$.

У меня есть подозрение, что для такого "скалярного" произведения можно получить многие результаты из тех, что верны для обычного скалярного произведения. Если такая теория уже разработана, я бы очень хотел получить ссылку! И это не праздный вопрос - у меня есть вполне конкретное приложение этого обобщения.

[AV_77]

Что "обычное" скалярное произведение, что ваше - частный случай спаривания модулей над кольцами (или алгебрами). Результаты там есть, попробуйте поискать. Хотя не думаю, что есть конкретно для колец матриц.

[AlexeyE]

Спасибо! А какое-нибудь каноническое издание по этой теме не посоветуете?

[AV_77]

Я такого "канонического" издания не видел. Кое-что есть у Артина в "Геометрической алгебре", что-то есть у Бэра. Попробуйте, например, начать отсюда и Спеньер Э. — Алгебраическая топология и там по ссылкам. Это, конечно, не то, что вам нужно, но как направление поиска, возможно подойдет.