Переход от ряда к интегралу.

[DiMath]

Добрый день!

Подскажите пожалуйста литературу по переходу от суммы ряда к интегралу.
К примеру, интеграл Римана, Курцвейля-Хенстока, Стилтьеса, Мак-Шейна и тд. по определению есть предел интегральной суммы, и, при определенном выборе разбиения, можно получить равенство интеграла и бесконечного ряда.

Вопрос: как решить обратную задачу? Из ряда получить интеграл. Существуют ли специальные методы или критерии возможности такого перехода?

Спасибо.

[1r0pb]

DiMath в сообщении #888039 писал(а):

Подскажите пожалуйста литературу по переходу от суммы ряда к интегралу.

А разве недостаточно геометрического смысла интеграла?
Ну найдите, например, $\int\limits_{1}^{2}x^2dx$ по определению. Если справитесь, то попробуйте вычислить

$\lim (\frac{ n }{ n^2+1 }+\frac{ n }{ n^2+2 }+...+\frac{ n }{ n^2+n^2 } ).$

DiMath в сообщении #888039 писал(а):

Существуют ли специальные методы или критерии возможности такого перехода?

Пусть меня поправят, но каждый случай сугубо индивидуален.

(Оффтоп)

Это применительно к Римановскому интегралу. Про другие не осведомлен.

[ex-math]

Очень размытый вопрос.
Если Вы хотите интеграл от той же функции, значения которой суммируются в ряде, то можно получить оценки ряда интегралом сверху и снизу, просто нарисовав картинку. Можно получить довольно точное выражение для ошибки при такой оценке, гуглите формулу суммирования Эйлера.
Если Вы хотите точного равенства, но с другой функцией, Вам в помощь методы суммирования рядов с помощью вычетов из ТФКП, где сумма ряда выражается через комплексный интеграл. Можно обратиться к рядам Фурье. Можно использовать интегральные представления функций, входящих в общий член ряда, и т.п.
Чтобы получить более конкретный совет, лучше уточнить задачу.

[DiMath]

Попробую конкретней.
Пусть $G$ - последовательность, определенная в каждой целой точке $[0;N]$ . Очевидно, существует непрерывное "обобщение" этой последовательности (т.е. функция). Обратимся к геометрическому смыслу интеграла - площадь под криволинейной трапецией.
Рассмотрим график нашей последовательности. Можно считать, что значение $G$ в точке $x_0$ есть длина отрезка с концами $(x_0, 0), (x_0;G(x_0))$ соответственно. Значит возможно эти отрезки сдвинуть влево "до упора" и сформировать промежуточную функцию, которую в последствии, методом сглаживания и тд., реально привести к непрерывной почти всюду и ограниченной (иначе ряд не сойдется), т.е. интегрируемой. Вопрос: как эту функцию получить и существует ли подробное описание подобного или похожего метода?

[1r0pb]

DiMath в сообщении #888060 писал(а):

Попробую конкретней.
Пусть $G$ - последовательность, определенная в каждой целой точке $[0;N]$ . Очевидно, существует непрерывное "обобщение" этой последовательности (т.е. функция)

Точно?
$a_{n}=|\frac{ 1 }{ n^2-1 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2 } |,\ n=0,1,...,N.$

[Henrylee]

DiMath в сообщении #888060 писал(а):

Значит возможно эти отрезки сдвинуть влево "до упора" и сформировать промежуточную функцию

Это называется ступенчатая функция. Или простая. Вы ее имели в виду?

DiMath в сообщении #888060 писал(а):

, которую в последствии, методом сглаживания и тд., реально привести к непрерывной почти всюду и ограниченной (иначе ряд не сойдется), т.е. интегрируемой. Вопрос: как эту функцию получить и существует ли подробное описание подобного или похожего метода?

Нужно сгладить с сохранением интеграла что ль?

[ex-math]

Таких функций можно придумать сколько угодно, например, соединить точки отрезками прямых. Вам нужно, чтобы интеграл от этой функции в точности совпадал с суммой ряда? Или что-то еще? Обычно ряд стремятся заменить интегралом, потому что с последним проще работать, но тогда и функция должна быть несложной.

[DiMath]

1r0pb
Точно. Так как значений конечное число, можно обобщить полиномом, который будет совпадать с последовательностью в определенных точках.
Henrylee
Да, функция будет являться ступенчатой.
ex-math

В том то и дело, что после сдвигания влево, интеграл от полученной функции при нужных ограничениях будет равен площади, т.е. сумме этих отрезков, а каждый отрезок есть значение последовательности в этой точке. Значит интеграл будет равен сумме значений последовательности $G$.

Вопрос: как найти эту функцию?

[1r0pb]

DiMath в сообщении #888108 писал(а):

1r0pb
Точно. Так как значений конечное число, можно обобщить полиномом, который будет совпадать с последовательностью в определенных точках.

Ну хорошо. Если я правильно понял, что имеется в виду, то непонятно, зачем в данном случае нужна интерполяция многочленом?
Приведите уже конкретную задачу, чтобы не играть в "угадайку".

[Henrylee]

DiMath в сообщении #888108 писал(а):

1r0pb

Вопрос: как найти эту функцию?

Возьмите свертку с bump function (нужно выбрать подходящий носитель)
http://en.wikipedia.org/wiki/Bump_function
Точное равенство интеграла и суммы не получится, но сколь угодно близкая аппроксимация в $L_2$ пожалуйста. И не только непрерывная получится функция, а бесконечно гладкая.