Счетное количество решений задачи движения N тел

[evgeniy]

Munin в сообщении #887464 писал(а):

Через $k,m_1,m_2,m_3,$ пожалуйста.
И раз вы такой любитель непонятно выражаться: продемонстрируйте, что это положение равновесия, вычислив явно $d^2/dt^2$ от всех координат.

Первое тело описывается переменной x, второе тело переменной y, третье тело переменной z, и массы соответствуют этому индексу.
$\frac{m_x}{|\vec x-\vec y|^3} x_l+\frac{m_z}{|\vec z-\vec y|^3} z_l=\frac{m_x}{|\vec x-\vec y|^3} y_l+\frac{m_z}{|\vec z-\vec y|^3} y_l$
$\frac{m_x}{|\vec x-\vec z|^3} x_l-(\frac{m_x}{|\vec x-\vec z|^3}+\frac{m_y}{|\vec y-\vec z|^3}) z_l=-\frac{m_y}{|\vec y-\vec z|^3} y_l$
Координаты положения равновесия равновесия определяются из решения нелинейного уравнения и я никак не могу вычислить от них вторую производную. Могу подтвердить, что система записана верно
$\frac{m_x}{|\vec x-\vec y|^3} (x_l-y_l)+\frac{m_z}{|\vec z-\vec y|^3} (z_l-y_l)=0$
$\frac{m_x}{|\vec x-\vec z|^3} (x_l-z_l)+\frac{m_y}{|\vec y-\vec z|^3}(y_l- z_l)=0$

[Someone]

В задаче $N\geqslant 2$ тел нет положений равновесия. Это очень легко доказывается. Впрочем, Вам об этом Munin уже писал.

evgeniy в сообщении #886561 писал(а):

Далее извлекаем корень из левой части и интегрируем это дифференциальное уравнение ., получим

$\int_{u=x_l^0}^{x_l}\frac{du}{[P(u)+ \int k(\alpha,\beta)[\ln(u-c(\alpha,\beta))+2\pi i p]d\alpha d\beta-\int \frac{b(\alpha,\beta)}{2(u-c(\alpha,\beta))}d\alpha d\beta]^{1/2}}=h_l-h_l^0$
Получим решение уравнения движения, причем координата зависит от времени и от целого числа p. Считаем интеграл энергии и получаем зависимость энергии от целого числа p. Т.е. получен дискретный спектр энергии.

Это всё полная чушь. И никакие это не решения, и наличие в формуле целочисленного параметра ничего не означает. Решение существует для любых начальных данных, которых континуум штук, даже если ограничиться круговыми орбитами в задаче двух тел, и энергия там имеет непрерывный "спектр".

[evgeniy]

Someone в сообщении #887509 писал(а):

В задаче $N\geqslant 2$ тел нет положений равновесия. Это очень легко доказывается. Впрочем, Вам об этом Munin уже писал
.

Нет этот вопрос обсуждается с Munin

Someone в сообщении #887509 писал(а):

evgeniy в сообщении #886561
писал(а):
Далее извлекаем корень из левой части и интегрируем это дифференциальное уравнение ., получим

$\int_{u=x_l^0}^{x_l}\frac{du}{[P(u)+ \int k(\alpha,\beta)[\ln(u-c(\alpha,\beta))+2\pi i p]d\alpha d\beta-\int \frac{b(\alpha,\beta)}{2(u-c(\alpha,\beta))}d\alpha d\beta]^{1/2}}=h_l-h_l^0$
Получим решение уравнения движения, причем координата зависит от времени и от целого числа p. Считаем интеграл энергии и получаем зависимость энергии от целого числа p. Т.е. получен дискретный спектр энергии.
Это всё полная чушь. И никакие это не решения, и наличие в формуле целочисленного параметра ничего не означает. Решение существует для любых начальных данных, которых континуум штук, даже если ограничиться круговыми орбитами в задаче двух тел, и энергия там имеет непрерывный "спектр".

Для двух тел как выяснилось действительно нет положений равновесия, но полюса есть. Если получим решение дифференциального уравнения, зависящее от целой константы, следовательно энергия этой системы зависит от целой константы. Комментировать надо аргументированно, а не бросаться словами.

[Someone]

evgeniy в сообщении #887515 писал(а):

Если получим решение дифференциального уравнения, зависящее от целой константы, следовательно энергия этой системы зависит от целой константы.

Решение системы дифференциальных уравнений небесной механики зависит от непрерывных параметров, в качестве которых могут выступать начальные значения координат и скоростей (по 6 параметров на каждое тело). Часть параметров можно убрать за счёт специального выбора системы отсчёта, но если тел больше одного, то хотя бы один непрерывный параметр останется (на самом деле больше). И энергия такой системы может быть произвольной.

evgeniy в сообщении #887515 писал(а):

Комментировать надо аргументированно, а не бросаться словами.

Я не бросаюсь. Возьмите учебник по обыкновенным дифференциальным уравнениям и посмотрите, от каких параметров зависит общее решение.

evgeniy в сообщении #887515 писал(а):

Нет этот вопрос обсуждается с Munin

Это для Вас он "обсуждается". А для Muninа тут обсуждать нечего.

evgeniy в сообщении #887515 писал(а):

но полюса есть

"Полюсами" являются сами тела, если считать их точечными (если Вы хотите рассматривать с точки зрения ТФКП, откуда и взяли термин "полюс", то это не полюса, а точки ветвления). Если учесть, что на самом деле небесные тела являются протяжёнными, то никаких "полюсов" там нет и в помине.

[Munin]

evgeniy в сообщении #887497 писал(а):

Первое тело описывается переменной x, второе тело переменной y, третье тело переменной z

Нет, простите, первое тело описывается переменными $x_1,y_1,z_1,$ второе тело - переменными $x_2,y_2,z_2,$ а третье тело - переменными $x_3,y_3,z_3.$

Иначе попросту неверны записанные вами уравнения движения.

Если верно то, что я написал, то уравнения для $x_l,y_l,z_l$ - это уравнения, в которых индекс $l$ принимает значения $1,2,3,$ и получаются в результате несколько разных уравнений (например, три уравнения, если есть один свободный индекс $l$). Их можно выписать явно, но поскольку они все одинаково выглядят, то для краткости пишут уравнения с переменным индексом.

[evgeniy]

Munin, каждая переменная зависит от трех индексов плюс значение номера тела. У меня обозначения такие, первое тело определяется $x_l,l=1,2,3$,
второе тело обозначено $y_l,l=1,2,3$, а третье тело $z_l,l=1,2,3$. автор выбирает обозначения, мне так показалось удобным. Поэтому масса первого тела $m_x$, масса второго тела $m_y$, масса третьего тела $m_z$.
Если обозначать как вы предлагаете

Munin в сообщении #887571 писал(а):

Нет, простите, первое тело описывается переменными $x_1,y_1,z_1,$ второе тело - переменными $x_2,y_2,z_2,$ а третье тело - переменными $x_3,y_3,z_3.$

Иначе попросту неверны записанные вами уравнения движения.

То знаменатель будет выглядеть сложно $(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2$
у меня же знаменатель простой $|\vec x-\vec y|$
уравнения движения записаны в этих обозначениях.

Someone в сообщении #887520 писал(а):

evgeniy в сообщении #887515
писал(а):
Если получим решение дифференциального уравнения, зависящее от целой константы, следовательно энергия этой системы зависит от целой константы. Решение системы дифференциальных уравнений небесной механики зависит от непрерывных параметров, в качестве которых могут выступать начальные значения координат и скоростей (по 6 параметров на каждое тело). Часть параметров можно убрать за счёт специального выбора системы отсчёта, но если тел больше одного, то хотя бы один непрерывный параметр останется (на самом деле больше). И энергия такой системы может быть произвольной.

Дело в том, что при решении задачи по определению траектории параметр энергия задается произвольно, то одно из начальных условий получает значение. При заданных начальных условиях энергия определяется однозначно. И так как решение зависит от целой константы, однозначно определенная энергия зависит от целой константы. Возникает вопрос, как можно однозначно задать начальные условия, чтобы энергия от них не зависела. При описании элементарных частиц это сделать можно. Там уравнения содержат большой параметр и получая решение на бесконечности времени решение для одной переменной проходит через координаты положения равновесия. Что на бесконечности времени для одной переменной эквивалентно начальным условиям, равным положению равновесия. Начальная скорость делится на этот большой параметр и получается, что нет зависимости от начальных скорости.

evgeniy в сообщении #887515 писал(а):

но полюса есть

"Полюсами" являются сами тела, если считать их точечными (если Вы хотите рассматривать с точки зрения ТФКП, откуда и взяли термин "полюс", то это не полюса, а точки ветвления). Если учесть, что на самом деле небесные тела являются протяжёнными, то никаких "полюсов" там нет и в помине.


Есть уравнения движения многих тел. Если рассматривать движение в действительной плоскости, то полюсами являются точки совпадения координат двух тел. Но рассмотрение ведется в комплексной плоскости, и тогда полюса не соответствуют совпадению координат тел. При этом образуются именно полюса, а не точки ветвления, так как аргумент выражения в целой степени.

[Munin]

evgeniy в сообщении #887625 писал(а):

У меня обозначения такие, первое тело определяется $x_l,l=1,2,3$,
второе тело обозначено $y_l,l=1,2,3$, а третье тело $z_l,l=1,2,3$. автор выбирает обозначения, мне так показалось удобным.

Дико. Ну да ладно. Где одно конкретное положение равновесия? Вы его не указали.

evgeniy в сообщении #887625 писал(а):

Если обозначать как вы предлагаете
То знаменатель будет выглядеть сложно $(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2$
у меня же знаменатель простой $|\vec x-\vec y|$

На самом деле, знаменатель пишется просто $|\vec{r}_1-\vec{r}_2|.$ Не сложнее, чем у вас. Не выдумывайте глупостей.

[evgeniy]

Записываю уравнения по определению координат положения равновесия в общепринятых обозначениях, Munin меня убедил, что общепринятые обозначения возможны.
$\frac{m_2 (x_2-x_1)}{|\vec r_2- \vec r_1|^3}+\frac{m_3 (x_3-x_1)}{|\vec r_3- \vec r_1|^3}=0$
$\frac{m_1 (x_1-x_2)}{|\vec r_1- \vec r_2|^3}+\frac{m_3 (x_3-x_2)}{|\vec r_3- \vec r_2|^3}=0$
если разделить первое уравнение на $m_2$ , а второе уравнение $m_1$, и сложить, то получим третье уравнение.
Задаем произвольное значение $x_1$, получаем уравнения
$\frac{m_2}{|\vec r_2- \vec r_1|^3}x_2+\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_1|^3}x_3=\frac{m_2 x_1}{|\vec r_2- \vec r_1|^3}+\frac{m_3 x_1}{|\vec r_3- \vec r_1|^3}$
$(\frac{m_1}{|\vec r_1- \vec r_2|^3}+\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_2|^3})x_2-\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_2|^3}x_3=\frac{m_1 x_1}{|\vec r_1- \vec r_2|^3}$
причем величины $x_2,x_3$ определятся из нелинейного уравнения.

[Munin]

Munin в сообщении #886707 писал(а):

Укажите хотя бы одно такое положение равновесия.

Munin в сообщении #887448 писал(а):

В формате:
$\begin{gathered}x_1=\ldots\\ y_1=\ldots\\ z_1=\ldots\\ x_2=\ldots\\ y_2=\ldots\\ z_2=\ldots\\ x_3=\ldots\\ y_3=\ldots\\ z_3=\ldots\end{gathered}$

Munin в сообщении #887464 писал(а):

И раз вы такой любитель непонятно выражаться: продемонстрируйте, что это положение равновесия, вычислив явно $d^2/dt^2$ от всех координат.

-- 17.07.2014 12:09:54 --

Всё, что вы пока сделали: дали два уравнения, чтобы определить $x_2,x_3$ по произвольному $x_1.$ Но переменных-то девять! Не три и не две.

[evgeniy]

Аналогичные уравнения получаются и для $y_2,y_3$ при произвольно заданных $y_1$, и уравнения по определению $z_2,z_3$ по произвольно заданных $z_1$

[Munin]

К сожалению, эти все уравнения не независимы.

Итак, жду всё-таки приведения конкретного решения. Требую.

[evgeniy]

Имеем систему нелинейных уравнений
$\frac{m_2}{|\vec r_2- \vec r_1|^3}x_2+\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_1|^3}x_3=\frac{m_2 x_1}{|\vec r_2- \vec r_1|^3}+\frac{m_3 x_1}{|\vec r_3- \vec r_1|^3}$
$(\frac{m_1}{|\vec r_1- \vec r_2|^3}+\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_2|^3})x_2-\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_2|^3}x_3=\frac{m_1 x_1}{|\vec r_1- \vec r_2|^3}$
$\frac{m_2}{|\vec r_2- \vec r_1|^3}y_2+\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_1|^3}y_3=\frac{m_2 y_1}{|\vec r_2- \vec r_1|^3}+\frac{m_3 y_1}{|\vec r_3- \vec r_1|^3}$
$(\frac{m_1}{|\vec r_1- \vec r_2|^3}+\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_2|^3})y_2-\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_2|^3}y_3=\frac{m_1 y_1}{|\vec r_1- \vec r_2|^3}$
$\frac{m_2}{|\vec r_2- \vec r_1|^3}z_2+\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_1|^3}z_3=\frac{m_2 z_1}{|\vec r_2- \vec r_1|^3}+\frac{m_3 z_1}{|\vec r_3- \vec r_1|^3}$
$(\frac{m_1}{|\vec r_1- \vec r_2|^3}+\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_2|^3})z_2-\frac{m_3}{|\vec r_3- \vec r_2|^3}z_3=\frac{m_1 z_1}{|\vec r_1- \vec r_2|^3}$
Где правые части заданы, а левые части содержат 6 независимых переменных при 6 уравнениях. Причем разрешая относительно знаменателя левые части уравнения и возводя их в квадрат, получим систему полиномов многих переменных, которая имеет решение.

[Munin]

evgeniy в сообщении #888036 писал(а):

которая имеет решение.

Доказать надо.

[evgeniy]

Полином N степени в зависимости от одной переменной имеет N корней. Я не знаю доказана ли теорема о корнях системы полиномов от многих переменных. Но это математическая задача. Попробую ее решить по индукции. Допустим нашли один корень $\alpha_n, n=1,...,N$ системы N уравнений с N неизвестными. нужно доказать, что при имеющемся решении при N неизвестных следует решение при N-1 неизвестном. Представим ее в виде
$(x_n-\alpha_n)Q_k(x_1,...,x_{n-1},\alpha_n,x_{n+1},...,x_N)=0.$ Получается система с N-1 неизвестными. Причем выносим корень $x_n-\alpha_n$, одинаковый для всех уравнений.
При одном неизвестном доказательство очевидно. Т.е. корень у такой системы существует. О количестве таких корней можно делать только прикидки, они могут быть бесконечномерными, например $x_1=x_2$

[g______d]

evgeniy, приведите, пожалуйста, конкретные числовые значения масс и координат, при которых, как вы считаете, будет равновесие. Если не можете решить систему точно, решите приближённо.