Найти ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений

[Firth]

Пусть $A=(a_{ij})$ матрица ранга $n-1$ в $n$ столбцов и $n$ строк. Нужно найти ранг матрицы $A'=(A_{ij})$ составленной из алгебраических дополнений до элементов $a_{ij},i=1,2,3,...,n; j=1,2,3,...,n$

Что значат слова после фразы "алгебраических дополнений"?

Матрица ранга $n-1$, ранг - количество линейно независимых строк, могу я представить что одна их строк исходной матрицы, вообще равна нулю?

Тогда ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений будет равен единице, потому, что все миноры, кроме $n$ штук(тех что будут располагаться в нулевой строке) будут равны нулю. Верно я мыслю, или я чего-то не понял?

[patzer2097]

Firth в сообщении #887743 писал(а):

могу я представить что одна их строк исходной матрицы, вообще равна нулю?

можете представить, но чтобы получить доказательство, Вы должны рассмотреть все случаи

Firth в сообщении #887743 писал(а):

Тогда ранг матрицы составленной из алгебраических дополнений будет равен единице, потому, что все миноры, кроме $n$ штук(тех что будут располагаться в нулевой строке) будут равны нулю. Верно я мыслю, или я чего-то не понял?

ну это верно (только надо пояснить, почему среди миноров, соответствующих нулевой строке, все-таки будут ненулевые).

Теперь можете переходить к общему случаю - что, если нулевых строк нет?

[Firth]

Разницы особой нет, тогда та строка, что была нулевая, станет просто линейно зависимой. Путем элементарных преобразований ее можно превратить в нулевую. Или сразу находить миноры, тогда при вычеркивании строк и столбцов будут возникать линейно зависимые, и все-равно они будут равны нулю.

[patzer2097]

Firth в сообщении #887751 писал(а):

Разницы особой нет, тогда та строка, что была нулевая, станет просто линейно зависимой.

понимаете, линейно зависимыми бывают не строки, а наборы строк

Firth в сообщении #887751 писал(а):

Путем элементарных преобразований ее можно превратить в нулевую.

и что? а почему при элементарных преобразованиях исходной матрицы не может измениться ранг матрицы из дополнений?

Firth в сообщении #887751 писал(а):

Или сразу находить миноры, тогда <...> все-равно они будут равны нулю.

имейте в виду, что нулевых миноров может не быть вообще

Попробуйте перемножить Вашу исходную матрицу и матрицу, транспонированную к матрице дополнений. Что получится?

[1r0pb]

А если мысленно привести матрицу к треугольному виду, то там "кровь из носу", на главной диагонали, должен оказаться хотя бы один нуль(в силу вырожденности), где столбец, который содержит этот мысленный нуль можно "занулить" предыдущими столбцами. Так ведь? Прошу поправить, если я не прав.

[Firth]

Да, я понял, сразу миноры находить не получится. Там действительно может нулей не оказаться, тогда нужно с помощью элементарных преобразований превратить одну строку в нулевую. Ранг исходной матрицы от этого не изменится, не должен меняться и ранг матрицы из дополнений.

Если перемножить исходную матрицу и транспонированную матрицу из дополнений, то получаться везде нули кроме одного столбца.

[patzer2097]

Firth в сообщении #887763 писал(а):

Если перемножить исходную матрицу и транспонированную матрицу из дополнений, то получаться везде нули кроме одного столбца.

а почему кроме одного столбца? вспомните формулу разложения определителя по строке..

[Firth]

Кроме одного столбца, потому, что матрица из алгебраических дополнений состоит из нулей кроме одной строки, транспонируем, получается матрица состоящая из нулей кроме одного столбца, согласно формуле перемножения матриц умножаем строку исходной матрицы на столбец полученной транспонированием матрицы из алгебраических дополнений

Чтобы разложить определитель по строке нужно каждый элемент этой строки домножить на соответствующее алгебраическое дополнение а потом сложить все элементы.

[takeover]

Firth в сообщении #887769 писал(а):

Кроме одного столбца, потому, что матрица из алгебраических дополнений состоит из нулей кроме одной строки, транспонируем, получается матрица состоящая из нулей кроме одного столбца, согласно формуле перемножения матриц умножаем строку исходной матрицы на столбец полученной транспонированием матрицы из алгебраических дополнений

Вы неправы, да и к тому же формулу не привели

(Оффтоп)

у меня лично нет желания читать формулы словами

Напишите явно, чему равно $A'^{T}A$.

[ex-math]

patzer2097 в сообщении #887753 писал(а):

почему при элементарных преобразованиях исходной матрицы не может измениться ранг матрицы из алгебраических дополнений?

Это легко проверить. Например, при перестановке строк некоторые строки изменят знак. Пожалуй, самый короткий путь решения.

[ewert]

ex-math в сообщении #887846 писал(а):

Пожалуй, самый короткий путь решения.

В данном случае, т.к. ранг исходной матрицы "почти полный", никаких преобразований не нужно. Достаточно просто выписать результат перемножения матриц (только не $A'^{T}A$, а $A\,A'^{T}$) и нужным образом его интерпретировать.

[ex-math]

ewert
Так эта интерпретация будет использовать теорию однородных систем, а именно, формулу для размерности пространства решений, что всяко сложнее элементарных преобразований. Или я что-то проглядел?

[ewert]

ex-math в сообщении #887851 писал(а):

эта интерпретация будет использовать теорию однородных систем, а именно, формулу для размерности пространства решений, что всяко сложнее элементарных преобразований

Всяко проще. Ссылка на ту "теорию" -- это всего лишь одна фраза, с преобразованиями же придётся повозиться. Если б ранг исходной был поменьше -- ну что ж, надо так надо; но здесь-то зачем?...

[ex-math]

Если теория уже известна. Как я понял, эта задача встретилась после определителей и ранга, но до систем. Впрочем, ТС виднее.

-- 16.07.2014, 14:44 --

Кстати, если ранг исходной меньше, задача становится тривиальной.

[patzer2097]

ex-math в сообщении #887846 писал(а):

Это легко проверить. <...> Пожалуй, самый короткий путь решения.

и правда легко, я согласен