Потенциальная энергия в функции Лагранжа

[tech]

Munin
Это я понимаю. Изложу поподробнее.
"... отдельные компоненты импульса могут сохраняться и при наличии поля, если потенциальная энергия в нём не зависит от какой-либо из декартовых координат. При переносе вдоль соответствующей координатной оси механические свойства системы, очевидно, не меняются, и тем же способом мы найдем, что проекция импульса на эту ось сохраняется" (ЛЛ, §7)
И при выводе ЗСИ явно не используется тот факт, что потенциальная энергия не зависит от координаты. Логика такая: потенциальная энергия не зависит от какой-то координаты $\Rightarrow$ при переносе системы вдоль этой оси механические свойства её сохраняются $\Rightarrow$ перенесли именно вдоль этой оси и приравняли изменение функции Лагранжа к нулю.
Так вот в однородном поле вдоль оси $z$ меняется потенциальная энергия. Да, но допустим, мы кидаем с одинаковой начальной скоростью под углом $45^\circ$ к оси на высотах $z=15$ и $z=812$ материальную точку. Двигаться она будет одинаково что там, что там (с точностью до переноса). Разве не это подразумевается под одинаковостью механических свойств при параллельном переносе?
Ну и так, на всякий случай: что такое однородность пространства?

[Oleg Zubelevich]

Фраза "механические свойства системы сохраняются при переносе вдоль координаты" по определению означает, что лагранжиан не зависит от этой координаты. В Вашем примере с камнем, лагранжиан зависит от координаты $z$. Только и всего.

[tech]

Oleg Zubelevich
Спасибо.

[mechanic50]

tech в сообщении #886484 писал(а):

И после этого мой вопрос вроде должен отпасть сам собой, потому что ну какая в этой системе тогда ещё потенциальная энергия (со школы же знаем, какие слагаемые будут в ЗСЭ), но вот что-то меня коробит, ведь должны быть какие-то способы найти потенциальную энергию, понять, где она есть, а где её нет, не прибегая к школьным (или 1 курса) воспоминаниям, должны же быть какие-то методы теоретической механики.

Вы правильно вопрос ставите, спрашиваете не подсказать вам учебник где есть формулы для U разного вида, а как ее находить. Но на этом форуме вам никто не подскажет - не знают ! Я вот например, не понимаю, зачем человеку задающему вопрос о том как восстановить потенциальную энергию, отвечать - возьмите учебник с готовыми восстановленными формулами потенциальных энергий может вам что-то подойдет.

Toucan:

См. post891880.html#p891880