Сложение в системе Пеано

[tsverg]

Здравствуйте , уважаемые участники форума !
В "Основах анлиза" Ландау указано , что
$ x+1=x' $ (1)
$ x+y'=(x+y)' $ (2)
нельзя считать индуктивным ( индукцией по y ) определением сложения , так как
$ x+y $ стоящщее в (2) в правой части "не определено".
Штрих означает следующее за штрихованым число.
Должно же считать (1) и (2) доказываемыми свойствами , определяя сложение
индукцией по $x$ и поступая так :
При $x=1$ полагают
$x+y=y'$ (3) .
Считая сумму $x+y$ определённой при $x$ получают сумму для $x'$ по формуле
$x'+y=(x+y)'$ (4).
И далее всё строится со всеми подробностями.
В (3) мне понятно . Ясно что такое $y'$.
Но чем $x+y$ в правой части (4) лучше чем в (2) не понимаю.
Также как и Ландау трактует вопрос Проскуряков в 1 томе "Энциклопедии
элементарной математики" , несколько пространнее , но для меня не яснее.
Також и Феферман в "Числовых системах" , совсем уж сложно .
Не разъяснят ли моё недоумение специалисты ?

[arseniiv]

Почему-то у меня в той книге Ландау вне введения сложение строится по первым формулам, а не по вторым, но во введении вместо одной страницы неправильная. Видимо, на том самом месте. Не могли бы вы более подробную цитату сделать?

Так эти наборы переходят друг в друга, если заменить все формулы вида $a+b$ на $b+a$, так что неясно, чем один может быть лучше. Все соответствующие доказательства с использованием матиндукции нужно только немного подкорректировать для применимости с одного определения к другому.

Мог всё же что-нибудь пропустить.

[bot]

tsverg в сообщении #887023 писал(а):

В "Основах анлиза" Ландау указано , что
(1)
(2)
нельзя считать индуктивным

Почему нельзя? Таким образом сложение определяется индукцией по второму слагаемому: $x+y$ при $y=1$ определяется при любом $x$ первой формулой, а вторая даёт индуктивный переход от $y$ к $y'$.

Альтернативно сложение можно определить индукцией и по первому слагаемому. Разницы нет, но надо определиться для последующих доказательств ассоциативности и коммутативности.

[tsverg]

arseniiv

Извините , с цитатой быстро не выходит - сижу в деревне , за чужим компьютером ,
под незнакомым мне Линуксом , пытаюсь из Ландау.djv вырезать кусок - тщетно .
Буду силиться набрать вручную .

bot

Вот-вот ! И мне непонятно почему нельзя по первому ! Но у названных авторов - это принципиальный момент . Мне совершенно неясны ни возражения против первого
способа , ни преимущества второго .
Извиняюсь , начал спрашивать не приготовивши цитат .

[bot]

А Вы дальше почитайте. Следом ассоциативность доказывается, а затем коммутативность? Попробуйте эти же свойства доказать при альтернативном подходе. Принципиальной разницы нет - только лишь вопрос удобства, ровно такой же как чтение слева направо, а не снизу вверх.

[tsverg]

Вот цитата из Ландау

Цитата:

Когда я , скажем в лекции по теории чисел доказываю какую-нибудь теорему
о натуральных числах , устанавливая её справедливость сначала для $1 $, а затем
выводя из её справедливости для x справедливость для $x+1 $, то обычно какой-нибудь слушатель выдвигает возражение , что я ведь совсем не доказал предварительно утверждение для x. Это возражение не обосновано , но извинительно ; студент никогда не слыхал об аксиоме индукции . Возражение Грандйо звучало похоже , с тем , однако , различием , что оно было обосновано , так что я и его должен был извинить . Основываясь на своих пяти аксиомах , Пеано определяет $x+y$
при фиксированных x и y следующим образом :
$ x+1=x'$ ,
$ x+y'=(x+y)' $;
как он , так и его последователи думали , что этим дано общее определение$ x+y $. поскольку множество тех $y $, для которых $x+y $определено , содержит $1$ и вместе с $y$ также $ y' $.
Но ведь $ x+y $, стоящее во втором равенстве в скобках , не было ещё определено .
Дело обстояло бы благополучно , если бы мы ( чего на пеановском пути нет, поскольку порядок вводится лишь после сложения ) имели понятие "числа <= y" [<= меньше или равно ] и говорили о множестве
тех $y$ , для которых существует $f(z)$ , определённое для z<=y и обладающее свойствами
$ f(1)=x' $,
$ f(z')= (f(z))'$ при $z<y $.
Таково обоснование предложенное Дедекиндом . При дружеской помощи моего коллеги фон Неймана я, введя предварительно порядок ( что представило бы для читателя неудобство ), разработал для этой книжки такой путь. Однако , в последний момент я узнал от д-ра Кальмара из Сегеда значительно более простое доказательство ; теперь дело выглядит столь просто и доказательство столь сходно с остальными доказательствами из первой главы , что даже знаток не заметил бы этого пункта , если бы я так подробно не запротоколировал своего признания в вине и искуплении .

Видно , что дело не в техническом удобстве - высказана принципиальная позиция .

-- 15.07.2014, 11:09 --

Грандйо - ученик Ландау , обративший его внимание на эту тонкость .
Виноват , не осилил написание знака нестрогого неравенства .

[arseniiv]

\leqslant $\leqslant$.

К цитате: а ведь упоминаемого вами второго способа там нет!

[tsverg]

Это всё из введения , далее всё как в первой записи . Сейчас наберу из книжки в точности .
Благодарю за подсказку с неравенством .

[bot]

tsverg в сообщении #887652 писал(а):

Но ведь $ x+y $, стоящее во втором равенстве в скобках , не было ещё определено .
Дело обстояло бы благополучно , если бы мы ( чего на пеановском пути нет, поскольку порядок вводится лишь после сложения ) имели понятие "числа $\leqslant y$"

По аксиоме индукции не требуется проверять предположение индукции. Модель Пеано содержит $1$ и ею порождается как алгебраическая система с унарной операцией штрих. Аксиома индукции это и утверждает. Определив для любого $x$ индукцией по $y$ сумму $x+y$, мы тем самым определяем сумму любых двух элементов $x$ и $y$. Упорядочение естественно определять после введения сложения, полагая $x<y\Leftrightarrow \exists z (x+z=y)$
Где тут тонкость, из цитаты не улавливаю.

PS. Попробую скачать, почитаю.

-- Вт июл 15, 2014 19:51:08 --

Требуется установить однозначность суммы в случае её существования. Хотел об этом написать, но посчитал очевидным. В этом и тонкость. В доказательстве с этой однозначности и начинается. Цитату из предисловия трудно правильно интерпретировать - возможно просто плохой перевод.
И вообще надолго застревать на предисловии не советую, при первом чтении лучше вообще пропустить.

[tsverg]

Вот оно :

Цитата:

Теорема 4 , одновременно определение 1 .
Каждой паре натуральных чисел $ x$ ,$ y$ можно , и притом лишь единственным способом , отнести натуральное число , обозначаемое $ x+y$
, так , чтобы:
1)$ x+1=x'$ ,
2) $x+y'=(x+y)' $ для каждого $x$ и каждого $y$ .
$ x+y $называется суммой чисел $x$ и $y$ .
Доказательство.
А) [ доказывается единственность суммы удобопонятным
способом , опускаю ]
В) Покажем теперь , что для каждого $x$ действительно возможно определить $x+y $для всех $y$ так, чтобы
$ x+1=x' $
и
$ x+y'=(x+y)'$ для каждого $ y$ .
Пусть M - множество тех$ x$ , длякоторых такая возможность (притом в силу А , только одна) имеется.

|) При
$ x=1$
требуемыми свойствами обладает
$ x+y=y' $ .
Действительно ,
$ x+1= 1'=x' $ ,
$x+y'=(y')'=(x+y)' $ .
Следовательно , $1$ принадлежит множеству M .

||) Пусть $x$ принадлежит M , так что $x+y$ определено для всех $y$ . Тогда

$ x'+y=(x+y)' $
даёт требуемую сумму $ x'$ . Действительно ,

$ x'+1=(x+1)'=(x')'$
и
$ x'+y'=(x+y')'=((x+y)')'= (x'+y)' $.

Следовательно , и $x'$ принадлежит M .
Поэтому M содержит все $x $ .

Далее сочетательный и переместительный законы и всё прочее до конца книги .

[bot]

Вот опущенный Вами пункт А и есть та самая тонкость, о которой речь в предисловии.

[tsverg]

bot

Спасибо !
Думаю .